szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 9 kwi 2011, o 10:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 76
Witam,
zastanawiałem się nad taką sytuacją:
mamy dany jakiś wektor np. \vec{a} = [x_a; x_b], długość innego wektora | \vec{b} | = l, oraz kąt \alpha między tymi wektorami.

Chciałbym wyznaczyć współrzędne wektora \vec{b} w dowolnej sytuacji.

Jak na razie udało mi się rozważyć przypadek, gdy \vec{a} jest równoległy do osi X, ponieważ wtedy możemy przyjąć, że kąt \alpha to kąt pomiędzy wektorem, a osią X.
x_b = y_b \tg \alpha \\
l = \sqrt{x_{b}^2 + y_{b}^2} = \sqrt{y_{b}^{2} \tg^2 \alpha + y_{b}^2} = y_b \sqrt{\tg^2 \alpha + 1} \\
y_b = \frac{l}{\sqrt{\tg^2 \alpha + 1}} \\
x_b = \frac{l \tg \alpha}{\sqrt{\tg^2 \alpha + 1}}

No i to działa elegancko, gdy \vec{a} \ || \ OX, ale nie mam żadnego pomysłu, jak by to zrobić dla dowolnego \vec{a}.
Będę wdzięczny za wskazówki, pozdrawiam.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 kwi 2011, o 12:42 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Znasz przecież długości obydwu wektorów, więc możesz wykorzystać iloczyn skalarny lub wyznacznik pary wektorów. Do tego dokładasz warunek, że długość szukanego wektora wynosi l.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 kwi 2011, o 14:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 76
Podszedłem do tego trochę inaczej, ale nadal gdzieś popełniam błąd.

Doszedłem do wniosku, że suma kątów: między wektorami i nachylenia wektora \vec{a} jest kątem nachylenia wektora \vec{b} do osi OX.

Przyjmę bardziej intuicyjne oznaczenia:
\alpha - kąt nachylenia wektora \vec{a} do osi OX
\beta - kąt nachylenia wektora \vec{b} do osi OX
\gamma - kąt między wektorami

No i teraz tak: chcąc obliczyć \tg \beta, czyli jedyną oprócz długości wektora \vec{b} wielkością wykorzystywaną w wyprowadzonych powyżej wzorach używam wzoru na tangens sumy kątów.

\tg \beta = \tg(\alpha + \gamma) = \frac{\tg \alpha + \tg \gamma}{1 - \tg \alpha \cdot \tg \gamma}

Teraz przyjmę przykładowe dane:
\vec{a}  = [4;2] \\
 \gamma = 45^{\circ} \\
| \vec{b} | = 2\sqrt{10}

Po wykonaniu rysunku będzie widać, że \vec{b} = [2;6].
Teraz liczę:
\tg( \alpha + \gamma) = \frac{\frac{2}{4} + \tg45^{\circ}}{1 - \frac{2}{4} \cdot \tg45^{\circ}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3.

Podstawiam to do cudownych wzorów:
x_b = \frac{2\sqrt{10} \cdot 3}{\sqrt{1 + 9}} = 6 \\
y_b = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{1 + 9}} = 2.

No i jest lipa, bo powinno być odwrotnie :|
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 kwi 2011, o 19:47 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
No oczywiście, że odwrotnie, bo namieszałeś w oznaczeniach. Mamy przecież \frac{y_b}{x_b}=\tg (\alpha+\gamma), czyli y_b=x_b \tg (\alpha+\gamma).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 kwi 2011, o 20:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 76
Faktycznie, przekręciłem. Dzięki za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie punktu na okręgu  Krisb  1
 Wyznaczanie punktów przecięcia prostej przez okrąg .  zaklik  2
 Obliczyć długość wektora - zadanie 3  oles  1
 współrzędne wektora - zadanie 4  karola1641  3
 Plaszczyzna przechodzaca przez punkt w polowie wektora  mrc87  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl