szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 29 mar 2011, o 14:56 
Użytkownik

Posty: 110
Lokalizacja: Jasło
Witam, prosiłbym o pomoc z następującym zadaniem:

Dane są punkty A=(2,0) i B=(6,2). Na prostej k: x-y=0 wyznacz taki punkt P, aby suma długości odcinków AP i BP była najmniejsza.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 mar 2011, o 15:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1630
Lokalizacja: Suwałki
x-y=0\\y=x
Czyli trzeci punkt ma współrzędne (x,x)
Policzmy sumę odległości:
(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2
Doprowadź do postaci ax^2+bx+c.
Będziesz miał parabolę z ramionami do góry.
Ta odległość musi być jak najmniejsza czyli musisz złapać wierzchołek paraboli.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 mar 2011, o 22:25 
Użytkownik

Posty: 110
Lokalizacja: Jasło
Czyli można sobie te odległości podnieść do kwadratu? Bo własnie to było dla mnie problemem: nie bardzo wiedziałem co zrobić z pierwiastkami ze wzoru na dł. odcinka.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 mar 2011, o 22:37 
Użytkownik

Posty: 5101
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Nie można niestety.

-- 29 mar 2011, o 22:41 --

To znaczy, pewien nie jestem czy wynik nie wyjdzie taki sam, ale nie widzę uzasadnienia, dlaczego tak by można było. Jeśli chcesz podpowiedź, to niech B' będzie obrazem punktu B w symetrii względem prostej x-y=0. Znajdź odległość pomiędzy A a B'.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 mar 2011, o 22:58 
Użytkownik

Posty: 110
Lokalizacja: Jasło
I będzie ona równa sumie odległości AP i BP?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 mar 2011, o 23:03 
Użytkownik

Posty: 5101
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Będzie równa najmniejszej sumie odległości AP i BP. To dlatego, że suma odległości AP i BP to to samo, co suma odległości AP i B'P. A ta suma jest najmniejsza, gdy P leży na odcinku AB'.

-- 29 mar 2011, o 23:04 --

Oczywiście to przy założeniu, że A i B leżą po tej samej stronie prostej. W tym zadaniu tak jest.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 mar 2011, o 23:34 
Użytkownik

Posty: 110
Lokalizacja: Jasło
Już rozumiem :wink: Dzięki serdeczne. Spotkałem się już kiedyś z takim rozwiązaniem, ale właśnie nie bardzo wiedziałem skąd się to bierze.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 mar 2011, o 13:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1630
Lokalizacja: Suwałki
Nie opisałem tego, ale można tak robić.
Odległość to \sqrt{(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2} i mamy znaleźć najmniejszą wartość. Zarówno pierwiastek jak i wyrażenie pod pierwiastkiem są dodatnie, także policzenie minimum z kwadratu odległości zawsze da nam poprawny wynik.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 mar 2011, o 13:45 
Użytkownik

Posty: 5101
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Lecz czy minimalizowanie \sqrt{(x-2)^2+x^2}+\sqrt{(x-6)^2+(x-2)^2} to to samo, co minimalizowanie \sqrt{(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}?

W Twoim wynik wychodzi x=\frac{5}{2}, a z moich geometrycznych rozważań mamy x=2.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 mar 2011, o 13:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1630
Lokalizacja: Suwałki
Ja minimalizuję \sqrt{(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}.
A Ty co minimalizujesz? Sumę pierwiastków?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 mar 2011, o 13:54 
Użytkownik

Posty: 5101
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Tak, bo suma długości odcinków to jest suma pierwiastków.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 mar 2011, o 13:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1630
Lokalizacja: Suwałki
No racja.
A ja tak jakby liczyłem odległość między punktami i w ogóle pomieszałem.
Mój błąd.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 punkty wspólne dwóch okregów  attyde  4
 Wyznacz punkt przecięcia dwóch prostych  Anonymous  1
 Suma odległości punktów od prostej-zadanie.  Agniesia  5
 Dana prosta i punkt - oblicz najmniejszą odległość  Anonymous  3
 okrąg przechodzący przez punk i styczny do dwóch prostyc  marss  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl