szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
PostNapisane: 7 mar 2011, o 21:38 
Użytkownik
Tak jak w temacie. Proszę o wyszukanie błędu. Mam dwie proste zadane równaniami krawędziowymi:
l_1:\begin{cases} x+y+1=0\\x-z+1=0\end{cases}

l_2:\begin{cases} x+y-z=0\\z+y+1=0\end{cases}

Postanowiłem zamienić równania krawędziowe na równania parametryczne.
Zapiszę to w formie tłumaczenia samemu sobie, łatwiej będzie wtedy Wam wyłapać błąd:

Podane równania mówią nam że np l_1 jest krawędzią przecięcia się płaszczyzn \Pi_1:x+y+1=0 i \Pi_2:x-z+1=0. Aby napisać równanie parametryczne l_1 musimy znaleźć punkt (x_0,y_0,z_0) który przechodzi przez tę prostą i znaleźć wektor do niej równoległy. Punkt (x_0,y_0,z_0) jest dowolnym rozwiązaniem układu dla z_0=0. Rozwiązujemy więc układzik dla prostejl_1, wychodzi l_1:\begin{cases} x=-1\\y=0\\z=0\end{cases}, czyli (x_0,y_0,z_0)=(-1,0,0). Wyznaczamy (odczytujemy) teraz wektor prostopadły do \Pi_1 prostej l_1. Dla x+y+1=0 będzie wynosił u=[1,1,0] , dla \Pi_2 prostej l_1 wynosi v=[1,0,-1] . Zatem wektor u \times v = [u_1*v_3-u_3*v_2, u_3*v_1-u_1*v_3, u_1*v_2-u_2*v_1] czyli u \times v = [-1,1,-1] jest równoległy do krawędzi przecięcia się płaszczyzn, czyli równanie parametryczne prostej ma postać: l_1:\begin{cases} x=-1-t\\y=t\\z=-t\end{cases}. Tak samo wyznaczamy równanie dla prostej l_2, wyszło mi l_2:\begin{cases} x=1+2t\\y=-1-t\\z=t\end{cases}.

Teraz obliczymy odległość l_1 od l_2.

Odczytujemy wektory kierunkowe prostych, wynoszą odpowiednio u_1=[-1,1,-1] oraz u_2=[2,-1,1]. Odczytujemy dowolny punkt przez który przechodzą proste: są to odpowiednio P_1=(-1,0,0) P2=(1,-1,0). Obliczamy wektor jaki tworzą te punkty. Wynosi on [2,-1,0]. Obliczymy teraz wyznacznik macierzy stworzonej z: w pierwszym wierszu obliczony przed chwilą wektor, a na drugim i 3 wierszu wektory kierunkowe. Gdy wyznacznik wyjdzie równy 0 oznacza to że proste leżą na jednej płaszczyźnie. Teraz sprawdzamy równoległość dzieląc kolejne współrzędne wektorów kierunkowych przez siebie i gdy ich ilorazy będą różne od 0 i dadzą liczbę rzeczywistą to są równoległe (po obliczeniach wychodzi że nie są równoległe)). Niestety tutaj wyznacznik takiej macierzy wyniósł mi -1 więc proste są "zwichrowane" (cokolwiek to znaczy).

Znajdziemy zatem płaszczyznę równoległą do obu prostych i zawierającą prostą l_2. Jej wektor normalny możemy obliczyć jako iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych obu prostych. Wychodzi u_1 \times u_2 = [0,-1,-1]. Do szukanej płaszczyzny należy P_2, w związku z czym możemy zapisać równanie szukanej płaszczyzny jako: 0*(x+1)-1*(y+1)-z=0. Wychodzi, że -y-1-z=0.

Teraz obliczamy po prostu odległość punktu P_1 od policzonej płaszczyzny:
Niespodzianka, wychodzi mi d(l_1, l_2) =\frac{\sqrt{2}}{2}, a w odpowiedziach jest d(l_1, l_2)= \sqrt{2}.
Gdzie powstał błąd? Czy moja wiedza nabyta w zakresie geometrii analitycznej jest trefna?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2011, o 22:28 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Prawdę mówiąc, to pewnie w drukarni :P.

A tak poważnie to przejrzałem w miarę dokładnie Twoje obliczenia i nie znalazłem błędu. Sprawdziłem w programie matematycznym te wszystkie iloczyny wektorowe. Wszystko wygląda OK. Błędu w badaniu wzajemnego położenia prostych nie ma prawa być, bo dało się policzyć odległość P_1 od szukanej płąszczyzny (nie wyszła zerowa). Naprawdę jak dla mnie to najbardziej prawdopodobny jest błąd w książce (jeśli jest jakiś błąd, to naprawdę złośliwy :? )
Góra
PostNapisane: 7 mar 2011, o 22:36 
Użytkownik
Dzięki Ci o Panie!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2011, o 23:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 687
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Ja podszedłem do tematu nieco inaczej.

Wziąłem punkt A prostej l _{1}. Ma on współrzędne
A = (-1-t _{A}, t _{A}, -t _{A}) i punkt B prostej l _{2} analogicznie wyrażając jego współrzędne. Następnie obliczyłem odległość między tymi punktami. Otrzymałem funkcję dwóch zmiennych t _{A} i t _{B}. Zbadałem ją i otrzymałem ekstremum równe \sqrt{ \frac{1}{2} }. Chyba dobrze to policzyłeś kolego.
Góra
PostNapisane: 8 mar 2011, o 00:19 
Użytkownik
Dzięki że sprawdziłeś, nie ma nic gorszego niż błędy w odpowiedziach... (no chyba że brak odpowiedzi :) )
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wzór na odległość punktu od prostej, odległość prost  Anonymous  1
 Oblicz pole kwadratu ograniczonych prostymi o równaniach  Anonymous  1
 odległość punktu od powierzchni  therud  7
 Odległość punktów  Anonymous  1
 Czym jest zbiór punktów sfery znajdujących się między  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl