szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2011, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 3014
Lokalizacja: Gdynia
Inna metoda znajdowania ułamków prostych.

Np. ułamek : \,\, \,\, \frac{4x - 5}{(x + 1 ) \, ( x - 2 )} = \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{ x - 2 } \,\,\, ;

Poniższa metoda pozwoli na znajdowanie odpowiednich ułamków prostych przez wykonanie pewnych działań w pamięci.

W przykładzie, należy znaleźć takie liczby A i B , dla których:

\,\, \,\, \frac{4x - 5}{(x + 1 ) \, ( x - 2 )} \equiv \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{ x - 2 } \,\,\, ;

Powyższa równoważność oznacza, że \,\, \,\, \frac{4x - 5}{ ( x - 2 )} \equiv A + \frac{B \, ( x + 1 )}{ x - 2 } \,\,\, - ( równoważność wyjściowa pomnożona przez \,\,\, ( x + 1 )) \,\, ;

Podstawiając teraz za "x" dowolną liczbę, z wyjątkiem 2 ( w tym przypadku ), musimy otrzymać dokładnie takie same liczby po prawej i po lewej stronie.
Wybieramy podstawienie \,\,\, x = -1 \,\, , i otrzymujemy: \,\,\, \frac{-9}{-3} = A \,\,\, czyli \,\,\, A = 3 \,\,.

Aby znaleźć wartość B, mnożymy wyjściową równoważność przez \,\,\, ( x - 2 ) \,\,\,, a następnie podstawiamy \,\,\, x = 2 \,\,\,.

Otrzymujemy: \,\,\, B = \frac{8 - 5}{2 + 1} = 1.

Zasada jest następująca: zakryj w podanym ułamku nawias ( x - 2 ), a następnie w ułamku, który widać po tym zakryciu, za x podstaw 2 . W ten sposób otrzymujemy licznik ułamka prostego o mianowniku ( x - 2 ).

Przykład:

Ułamek \,\,\,  \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \,\,\, przedstaw w postaci ułamków prostych.

Na początku piszemy:

\,\,  \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \equiv \frac{}{x} +  \frac{}{x + 2} +  \frac{}{x - 3}

Zakrywamy teraz czynnik x w mianowniku ułamka i do reszty podstawiamy ( x = 0 ). W wyniku otrzymujemy: \,\,\,\, \frac{-18}{2 \cdot (-3)} = 3 \,\,\,.

Liczbę 3 zapisujemy w liczniku nad x z prawej strony powyższej równoważności.

Następnie zakrywamy czynnik ( x + 2 ) i podstawiamy ( x = -2 ) ; wynik: \,\,\,\frac{16 + 22 - 18}{( -2 ) \cdot ( -5 )} = \frac{20}{10} = 2 \,\,\, - jest drugim licznikiem, którego poszukiwaliśmy.

Trzeci jest równy -1.

Końcowy rozkład jest następujący:

\,\,  \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \equiv \frac{3}{x} +   \frac{2}{x + 2} +  \frac{-1}{x - 3}.

Jeżeli chcemy sprawdzić, czy dobrze wykonaliśmy rozkład, za x podstawiamy jakąkolwiek liczbę, z wyjątkiem tych, które już wykorzystaliśmy, np. \,\,\, x = 2  \rightarrow  3 = 3.

PS.
Metoda zaczerpnięta z podręcznika: " Matematyka w szkole średniej" T - 3, w przekładzie z jęz. angielskiego Wojciecha Jędrychowskiego.
WSiP W-wa 1988.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 kwi 2012, o 00:50 
Użytkownik

Posty: 52
Lokalizacja: Gorzów
Ta sama metoda jest również pokazana w I tomie zbioru maturalnego Andrzeja Kiełbasy w dziale z wielomianami. Jest tam też parę przykładów do jej przećwiczenia. Fajnie, że Ci się chce wstawiać takie rzeczy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 10:38 
Użytkownik

Posty: 95
Lokalizacja: Wrocław
Jak działa ta metoda na takim przykładzie? Bo chyba czegoś nie rozumiem.

b) \frac{x+9}{x(x+3)^2} =  \frac{}{x} +  \frac{}{(x+3)}  + \frac{}{(x+3)^2}

nie wychodzi mi to zerowanie bo jak podstawiam x=-3 to oba ułamki mi się zerują

c) \frac{3x^2+4x+3}{x^3-x^2+4x-4}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2015, o 19:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6670
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
W takich przypadkach możesz wstawić dowolną nieużywaną jeszcze wartość
Oczywiście dużo nie zyskasz w stosunku do metody z porównywaniem wielomianów w liczniku
w tym przypadku

Wyżej wspomniana metoda najlepiej sprawdza się w przypadku gdy pierwiastki mianownika
są rzeczywiste i różne
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozkład na rzeczywiste ułamki proste - zadanie 2  Straszak  3
 Rozkład na ułamki proste - zadanie 48  radziomix  1
 Proste działania  ewelinka5456  1
 niby proste równanie  Simong  3
 Proste równanie - zadanie 33  uki122  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl