szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 sty 2011, o 23:35 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: warszawa
Obliczyć odległość punktu A=(3,4,5) od prostej:
l: \begin{cases} x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1-x_2+x_3-2=0 \end{cases}
Pomoże ktoś?:)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2011, o 16:25 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
Wyznaczmy (w zależności od parametru t) współrzędne dowolnego punktu B na prostej l.
Z równania prostej mamy 2x_1+2x_3-2=0, tj. x_3=1-x_1 i przyjmując x_1=t dostajemy x_3=1-t, x_2=-(x_1+x_3)=-(t+1-t)=-1. Zatem B=(t,-1,1-t) dla pewnego t.
Zauważ, że odległość punktu A od prostej l jest długością najkrótszego spośród odcinków AB. Trzeba tylko wybrać odpowiednią wartość t.
Co więcej, |AB| będzie najkrótsza dokładnie wtedy, gdy wyrażenie |AB|^2 będzie miało wartość najmniejszą.
Mamy |AB|^2=(t-3)^2+(-1-4)^2+(1-t-5)^2=2t^2+2t+50, więc |AB|^2 jest najmniejsze dla t=-\frac{2}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2} i wynosi |AB|^2=\frac{99}{2}. Zatem |AB|, a tym samym odległość punktu A od prostej l, wynosi \frac{3\sqrt{22}}{2}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2011, o 10:43 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: wwa
hm, ja mam podobny problem i do czegoś już doszedłem:

3) Oblicz odległość punktuA=\left( 0, 1, -1\right) od prostej \frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{3}.

A=(0, 1, -1) , \frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{3}

\begin{cases} x=2t \\ y=-t \\z=3t \end{cases}

punkt na prostej P:,
P=(2t, -t, 3t)
odległość punktu A od punktu P na prostej:
PA=(2t-0, -t-1, 3t+1)
|PA|= \sqrt{4t^2+t^2-2t+1+9t^2+6t+1}
|PA|= \sqrt{14t^2+4t+2}

Jak teraz wyznaczyć wartość t?
Pozdrawiam czekam na odpowiedz
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2011, o 11:44 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
Odcinek PA musi być możliwie najkrótszy. Będzie tak dokładnie wtedy, gdy wyrażenie podpierwiastkowe będzie miało najmniejszą wartość, tj. dla t będącego odciętą wierzchołka paraboli t\mapsto 14t^2+4t+2. Stąd mamy t=-\frac{4}{2\cdot 14}=-\frac{1}{7} i wówczas |PA|=\sqrt{\frac{12}{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2011, o 12:31 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: wwa
dzięki wielkie - a zadanie jest rozwiązane dobrze, tak?

więc wynik: t=-\frac{4}{2\cdot 14}=-\frac{1}{7} wstawiamy do równania pod pierwiastkiem: |PA|= \sqrt{14t^2+4t+2}
i wychodzi: |PA|=\sqrt{\frac{12}{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2011, o 15:56 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
Dokładnie tak. :) Otrzymaliśmy odległość punktu A od danej prostej.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Odległóść punktu od prostej - zadanie 42  gratis71  3
 Odległość punktu od prostej - zadanie 40  aggie_  5
 Odległość punktu od prostej - zadanie 22  Ghostek  1
 Odległość punktu od prostej - zadanie 20  dominika15191  1
 odległość punktu od prostej - zadanie 11  grzegorz39  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl