szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 16 lis 2010, o 16:34 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Kielce
Mam na czwartek na kolokwium zadanie którego nikt nie potrafi zrobić na roku:

Niech \  f:  R^{2}   \rightarrow  R^{2}    \   bedzie  \ zlozeniem  \ jednokladnosci  \ o  \  srodku   \   S=(1,2) \  i \  skali  \ k=2,   \  obrotu  \ o  \ srodku \ S'=(1,1) \  o  \ kat \alpha  = 45^\circ \ zgodnie \ z   \  ruchem  \ wskazowek   \  zegara \  oraz  \   translacji  \ o   \wektor  \    \vec{u}=[3,4].    \
a)\ Znalezc  \ wzor   \  przeksztalcenia   \  f.  \
b) \  Podac \  rownanie  \ obrazu \  f(C), \  gdzie  \ C  \subset   R^{2} \  jest  \ krzywa   \  o \  rownaniu  \ y^{3}  -xy+  x^{3}  =0.

Bardzo bym prosiła o rozwiązanie krok po kroku w razie czego możecie mi rozwiązanie wysłac na moją pocztę magda19ania91@onet.pl
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 lis 2010, o 00:06 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Wbrew pozorom to nie jest takie trudne zadanie, tylko trochę uciążliwe. Proponuję najpierw wyznaczyć ogólne wzory na obrazy punktów we wszystkich tych przekształceniach osobno.

:arrow: Jednokładność o skali k=2 i środku S=(1,2) przypisuje danemu punktowi A(x,y) taki punkt A'(x',y'), że:

\vec{SA'}=k\vec{SA}\\
\ [x^{\prime}-1,y^{\prime}-2]=2[x-1,y-2]\\
\begin{cases} x^{\prime}-1=2x-2 \\ y^{\prime}-2=2y-4 \end{cases}\\ 
\begin{cases} x^{\prime}=2x-1 \\ y^{\prime}=2y-2 \end{cases}

:arrow: Obrót dowolnego punktu A(x,y) o środku S'=(1,1) zrobimy tak: najpierw przesuniemy wszystko o wektor [-1,-1] (tak, by obrót wykonywany był wokół początku układu), obrócimy ten punkt i z powrotem przesuniemy o wektor [1,1].

Wzór na obrót o kąt \alpha wokół (0,0):
\begin{cases} x^{\prime}=xcos\alpha-ysin\alpha \\ y^{\prime}=xsin\alpha+ycos\alpha \end{cases}

Dla \alpha=45^\circ otrzymujemy:
\begin{cases} x^{\prime}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-y\right) \\ y^{\prime}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y\right) \end{cases}

Zgodnie z tym, co napisałem wcześniej, najpierw przesuwamy:
\begin{cases} x^{\prime}=x-1 \\ y^{\prime}=y-1 \end{cases}
potem obracamy:
\begin{cases} x^{\prime \prime}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x^{\prime}-y^{\prime}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-1-(y-1)\right) \\ y^{\prime \prime}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x^{\prime}+y^{\prime} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-1+y-1 \right) \end{cases}
na koniec znów przesuwamy:
\begin{cases} x^{\prime\prime\prime}=x^{\prime \prime}+1=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-y\right)+1 \\ y^{\prime\prime\prime}=y^{\prime \prime}+1=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y-2 \right)+1 \end{cases}
i mamy wzory na współrzędne dowolnego punktu po opisanym obrocie.

:arrow: translacja o wektor jest najprostsza, proponuję, żebyś spróbowała sama.

Na koniec, kiedy będziemy znali już wzory na wszystkie trzy przekształcenia, musimy po prostu punkt A(x,y) przekształcić w jednokładności, otrzymany punkt przekształcić w obrocie, a otrzymany tu punkt przesunąć o wektor.

Jak zrobisz to, co opisałem, ale nie będziesz wiedziała, jak rozwiązać podpunkt b, to daj znać.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jak sprawdzić czy wektor zawiera punkt?  pat2025  2
 translacja - zadanie 2  michcioms  4
 Wektor normalny z prostej parametrycznej  keczup  2
 Oblicz współrzędne punktu powstałego przez obrót dook  mex  3
 Wyznaczyc wektor  szyms  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl