szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2010, o 15:43 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Witam.

Znaleźć funkcję tworzącą dla liczby wyborów r \ (r = 0, 1, \ldots , 9) kul spośród trzech kul zielonych, trzech białych i trzech niebieskich.

Jeśli dobrze się orientuję, to mam znaleźć taką funkcję postaci (1+x+x^2+ \ldots )^n, że współczynnik przy x^r ma być szukaną liczbą wyborów r kul.
Nie wiem jednak, jak zacząć.

Z góry dziękuję.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2010, o 16:05 
Gość Specjalny

Posty: 3053
Lokalizacja: Świdnik
Robi się to tak. Kul zielonych może być 0,1,2 lub 3 więc do funkcji wnoszą one

(1+x+x^2+x^3)

Podobnie jest dla pozostałych. To co wnoszą poszczególne składniki się mnoży więc

f(x)=(1+x+x^2+x^3)^3

Jeśli np. kul zielonych miała być parzysta ilość to wnosiły by one do funkcji

(1+x^2)
itp. itd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2010, o 16:20 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Hmm, rozjaśniłeś mi nieco, dzięki (wcześniej wydawało mi się, że taką funkcję produkuje się "od razu" i nie wiadomo jak i skąd :) ).
Niestety wszystkiego nie rozumiem, a dokładniej:
Cytuj:
To co wnoszą poszczególne składniki się mnoży

Wyczuwam tutaj prawo mnożenia, ale w przypadku np. zliczania sposobów, gdy jeden etap przebiega przed drugim, mnożenie jest "naturalne", lecz tutaj mnożymy całe funkcje, a to dość istotnie zmienia współczynniki po wymnożeniu i nie widzę, dlaczego miałoby to być prawdą...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2010, o 17:15 
Gość Specjalny

Posty: 3053
Lokalizacja: Świdnik
No to wynika np. z tego że x^{a+b}=x^ax^b

Mamy
x^r co oznacza, że r jest ilość kul jaką wybraliśmy. Czyli
r=n+b+z (liczba kul niebieskich, białych i zielonych)
x^{n+b+z}=x^n\cdot x^b\cdot x^z.
Wsp. przy x^r jest więc liczbą sposobów wybrania n,b i z tak żeby sumowały się do r.

A co do następowania po sobie to żadna kolejność wybierania czy coś na nie interesuje, tylko efekt końcowy.

Np. rozważmy jeszcze taki przykład. Wyznaczmy liczbę rozwiązań równania

x_1+x_2+x_3+x_4=k
Przy czym
x_1,x_2\in\left\{ 0,1\right\}\\
x_3\in\left\{ 1,2,3 \right\} \\
x_4 \in \mathbb{N}_0

Skoro x^d oznacza, że x_1=d to od x_1 dostaniemy czynnik
(1+x)
Tak samo dla x_2
Od x_3 mamy (x+x^2+x^3)
A x_4 wnosi
(1+x+x^2+...)

Czyli funkcja tworząca to
(1+x)^2(x+x^2+x^3)(1+x+x^2+...)
i wsp. x^k oznacza liczbę rozwiązań dla danego k.

No i dlaczego to działa. Z każdego nawiasu coś wybieramy (być może jedynkę). Więc po zsumowaniu wykładników dostajemy ilość wybranych po drodze przedmiotów. A liczba rozwiązań równania to liczba wyborów takich sposobów.

Co do jakiegoś formalnego dowodu tego. Należało by pewnie rozważyć splot funkcji tworzących czy coś podobnego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Mały problem z funkcją tworzącą  kogutto  1
 Przeliczanie zbiorów oraz f. tworząca  dyskretny  0
 Znajdz funkcje tworzaca ciagu  brasco  0
 Ile jest liczb...; funkcja tworząca; wzór jawny.  marta81  1
 funkcja generująca  iwazach  0
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl