szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 paź 2010, o 11:24 
Użytkownik

Posty: 143
Lokalizacja: Gdańsk
Uzasadnij, że odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw i jego długość jest równa średnij arytmetycznej długości podstaw.
(Proszę o rozwiązanie przy użyciu wektorów)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2010, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Warszawa
Obrazek

\hbox{Zał:}
\\|AE|=|ED| , E \in AD
\\|CF|=|FB|, F \in CB
\\ |AB| \ || \ |CD|
\\
\\ \hbox{Teza:}
\\ EF || AB || DC
\\ |EF|= \frac{1}{2} (|AB|+|CD|)
\\
\\ \hbox{Dowód:}
\\ \begin{cases}\vec{EF}= \frac{1}{2}\vec{AD}+\vec{DC}+ \frac{1}{2}\vec{CB}
 \\\vec{EF}=- \frac{1}{2}\vec{AD}+\vec{AB}- \frac{1}{2} \vec{CB}
\end{cases}
Dodajemy teraz do siebie oba równania:
2\vec{EF}=\vec{DC}+\vec{AB}
\\ \vec{EF}= \frac{\vec{DC}+\vec{AB}}{2}
Wektory \vec{DC} \ \hbox{i} \ \vec{AB} mają ten sam kierunek i zwrot, zatem \vec{DC}+ \vec{AB} mają ten sam kierunek jak \vec{DC} \ \hbox{i} \ \vec{AB}, mnożenie przez stałą nie zmienia kierunku wektora czyli:
\frac{1}{2}(\vec{DC}+\vec{AB}) || \vec{DC}
\\  \frac{1}{2}(\vec{DC}+\vec{AB}) || \vec{AB}
Z równoległości wektorów \vec{DC} \hbox{i} \vec{AB} wynika, że:
|EF|= \frac{1}{2}(|AB|+|CD|)

Koniec dowodu.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 paź 2010, o 15:03 
Użytkownik

Posty: 143
Lokalizacja: Gdańsk
Nie rozumiem dowodu na to że \vec{EF} || (\vec{AB}  \vee  \vec{DC}), można by prosić o wytłumaczenie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2010, o 16:01 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Warszawa
Skoro \vec{AB} i \vec{DC} są do siebie równoległe (z założenia), to suma tych wektorów jest również do nich równoległa. A skoro suma tych wektorów jest równoległa do wektorów \vec{AB} i \vec{DC} to połowa tej sumy również jest równoległa do tych wektorów, czyli \vec{EF} || \vec{AB} oraz \vec{EF} || \vec{DC}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Okrąg, uzasadnij że  Duke  0
 W trapezie ABCD... - zadanie 3  Sorin  1
 Uzasadnij, że równanie nie opisuje okręgu  Gawroon7  10
 okrąg opisany na trapezie - zadanie 9  pomponik00  1
 przekątne w trapezie, środkowe w trójkącie  jamaj15  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl