szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 7 sie 2010, o 13:06 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Polska
1) Pokazać, że każdy retrakt przestrzeni Hausdorffa jest domknięty

2) Zbiór punktów skupienia zbioru A nazywamy pochodną zbioru A i oznaczamy A^d. Definiujemy n-tą pochodną zbioru A (oznaczenie A^{(n)}) następująco: A^{(1)}=A^d oraz A^{(n)}=\left(A^{(n-1)}\right)^d.
(a) podać przykład podzbioru liczb rzeczywistych mającego trzy kolejne pochodne różne
(b) podać przykład podzbioru liczb rzeczywistych mającego nieskończenie wiele pochodnych różnych
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 sie 2010, o 22:57 
Użytkownik

Posty: 1358
Lokalizacja: Wrocław
2a) Idea jest taka, żeby wraz z każdą pochodną przechodzić do nowych punktów skupienia, które będą tworzyły ciągi zbieżne do kolejnych punktów skupienia.


Skonstruujmy zatem najpierw zbiór, który ma jeden punkt skupienia. Proste: A_1:=\left\{\frac{1}{n}:\ n\in\mathbb{N}\right\}.
Mamy: A_1^d=\{0\}, A_1^{(2)}=\emptyset, czyli A_1 ma jedną pochodną niepustą, a drugą pustą.


Zbudujmy teraz zbiór, który ma dwie różne pochodne niepuste, a trzecia jest zbiorem pustym. W tym celu stworzymy odpowiedni ciąg ciągów \left(a_{kn}\right), gdzie a_{kn} jest zbieżny ściśle monotonicznie do \frac{1}{n+1} względem k, czyli \lim_{k\to\infty}a_{kn}=\frac{1}{n+1} oraz ponadto zachodzą nierówności: \forall n,k:\ \frac{1}{n+1}<a_{kn}<\frac{1}{n}.
Np. połóżmy: a_{kn}:=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)(k+1)} (sprawdź, że dla każdego k i n zachodzą żądane nierówności).

Ok. Zdefiniujmy żądany zbiór: A_2:=\bigcup_{n>0}\bigcup_{k>0}a_{nk}.

Zachodzi: A_2^d=A_1 oraz dalej A_2^{(2)}=A_1^d=\{0\} i A_2^{(3)}:=\emptyset. Sprawdź, dlaczego tak jest!


Zbiór A_2 ma 3 różne pochodne. Gdybyśmy dodatkowo chcieli, by trzecia była niepusta, a czwarta pusta, to analogicznie do konstrukcji A_2 tworzymy zbiór A_3. Po prostu z każdą pochodną przechodzimy do nowego zbioru punktów skupienia, które same tworzą ciągi.


2b) Chcemy teraz otrzymać zbiór A taki, że każde dwie pochodne są różne. No to wykorzystajmy podpunkt 2a). Zmodyfikujmy delikatnie zbiory A_n z powyższego podpunktu. Mianowicie przesuńmy je o n-1. Czyli niech teraz A_n\subset \left[n-1,n\right].

Zbiór A definiujmy następująco: A=\bigcup_{n>0}A_n, gdzie A_n są już przesunięte o n-1. Ma on nieskończenie wiele różnych pochodnych.


Wczytaj się dokładnie, co się tutaj dzieje. Konstrukcja jest bardzo prosta! Chodzi po prostu o otrzymywanie wraz z każdą pochodną nowych zbieżnych ciągów. Mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem przy opisywaniu pomysłu. W razie czego pytaj!

-- 8 sie 2010, o 22:18 --

1) Zauważ, że w przestrzeni Hausdorffa X każdy ciąg (naturalny lub uogólniony) ma co najwyżej jedną granicę. Niech A będzie retraktem X przez retrakcję r:X\to A. Niech (x_i)_i\subset A zbieżny do x. Ponieważ r jest ciągła, więc r(x_i)\to r(x). Ale r(x_i)=x_i, bo r jest retrakcją. Zatem r(x)=x (p. pierwsze zdanie), czyli x\in A.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 sie 2010, o 00:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
1. Trochę inny dowód:

Pokażemy, że X\setminus A jest otwarty.

Weźmy dowolny x\in X\setminus A.

Mamy r(x)\in A, zatem r(x)\neq x, więc ponieważ przestrzeń X jest Hausdorffa, to znajdziemy zbiory otwarte U, V takie, że x\in U, \ r(x)\in V, \ U\cap V = \varnothing.

Z ciągłości r zbiór r^{-1}(V) jest otwarty, ponadto x\in r^{-1}(V), bowiem r(x)\in V.

Twierdzimy, że zbiór W:= U\cap r^{-1}(V) jest otwartym otoczeniem x zawartym w X\setminus A (którego istnienie dowodzi otwartości X\setminus A).

Istotnie: x\in W wynika z poprzednich uwag, ponadto zbiór ten jest otwarty jako przecięcie zbiorów otwartych; wreszcie gdyby było y\in A\cap W, to w szczególności y\in U oraz r(y)\in V (bo y\in r^{-1}(A)) a zatem r(y) = y\in U\cap V - sprzeczność.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 sie 2010, o 09:42 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Polska
Ein napisał(a):
2b) Chcemy teraz otrzymać zbiór A taki, że każde dwie pochodne są różne. No to wykorzystajmy podpunkt 2a). Zmodyfikujmy delikatnie zbiory A_n z powyższego podpunktu. Mianowicie przesuńmy je o n-1. Czyli niech teraz A_n\subset \left[n-1,n\right].

Zbiór A definiujmy następująco: A=\bigcup_{n>0}A_n, gdzie A_n są już przesunięte o n-1. Ma on nieskończenie wiele różnych pochodnych.


Fajny pomysł, jednak ciekawi mnie czy zbiory A_n da się opisać jakąś formułką. Może coś takiego:
A_1=\{a_n=\frac{1}{n}, n>0\},
A_2=\{1+a_{nk},n,k>0\}, gdzie a_{nk}=a_n\sqrt{\frac{k+1}{k}},
A_3=\{2+a_{nkl},n,k,l>0\}, gdzie a_{nkl}=a_{nk} \sqrt[3]{\frac{l+1}{l}}
\ldots
A_N=\{N-1+a_{n_1n_2\ldots n_N},n_1,n_2,\ldots,n_N>0\}, gdzie a_{n_1n_2\ldots n_N}=a_{n_1n_2\ldots n_{N-1}} \sqrt[N]{\frac{n_N+1}{n_N}}
by zadziałało?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Otwartość zbioru, ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej.  Anonymous  16
 Topologia - wnetrze zbioru  Ewcia  1
 Pochodna pochodnej zbioru...  mapiech  1
 Szukając zbioru...  Anonymous  8
 Pochodna zbioru  Emiel Regis  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl