szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 30 maja 2010, o 12:05 
Użytkownik

Posty: 109
Znaleźć rzut punktu P(2,3,4) na prostą x=y=z.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 maja 2010, o 13:46 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
Oznaczmy szukany punkt przez S. Ponieważ leży on na prostej x=y=z, to S=(t_0,t_0,t_0) dla pewnego t_0. Co więcej, S jako rzut leży w najmniejszej możliwej odległości od punktu P.
Rozważmy odległość |PS| jako funkcję f zmiennej t:
f(t)=\sqrt{(t-2)^2+(t-3)^2+(t-4)^2} dla t\in\mathbb{R}.

Zauważmy, że funkcja f przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc osiąga ona minimum dokładnie dla takiego argumentu, dla którego minimum osiąga funkcja f^2, która jest funkcją kwadratową.
Mamy f^2(t)=(t-2)^2+(t-3)^2+(t-4)^2=3t^2-18t+29 dla t\in\mathbb{R}. Funkcja ta osiąga wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli będącej jej wykresem, dla odciętej równej t_0=-\frac{-18}{2\cdot 3}=3.

Wobec tego S=(3,3,3).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rzut punktu na prostą - zadanie 7  angelst  2
 Rzut punktu na prostą - zadanie 6  hotice  2
 rzut punktu na prostą - zadanie 5  adaptacja_film  2
 rzut punktu na prostą  cyt  1
 Rzut punktu na prostą - zadanie 2  thomas00  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl