szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 17 maja 2010, o 22:25 
Użytkownik

Posty: 167
Lokalizacja: Rzeszów
Witam mam problem z pewnymi zadaniami oto ich treści:

1. Udowodnij, że złożenie dwóch symetrii środkowych jest translacją.
2. Pokaż, że symetria środka jest izometrią punktów
Ax+By+C=0, (A ^{2}+B ^{2}>0)
(obrazem prostej w tym przekształceniu jest prosta)

Bardzo proszę o pomoc w ich rozwiązaniu. Z góry dziękuję.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 maja 2010, o 15:56 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Niech S_{1}(p_{1},q_{1}),S_{2}(p_{2},q_{2}) będą środkami symetrii. Weźmy dowolny punkt P(x,y). Jego obrazem w symetrii względem punktu S_{1} jest taki punkt P'(x_{1},y_{1}), że punkt S_{1} jest środkiem odcinka PP', zatem:
(p_{1},q_{1})=\left(\frac{x+x_{1}}{2},\frac{y+y_{1}}{2}\right)
\begin{cases} x_{1}=2p_{1}-x \\ y_{1}=2q_{1}-y \end{cases}

Analogicznie, obrazem punktu P' w symetrii względem punktu S_{2} jest punkt P'' o współrzędnych:
\begin{cases} x_{2}=2p_{2}-x_{1} \\ y_{2}=2q_{2}-y_{1} \end{cases}
\begin{cases} x_{2}=(2p_{2}-2p_{1})+x \\ y_{2}=(2q_{2}-2q_{1})+y \end{cases}

Niech \vec{q}=[2p_{2}-2p_{1},2q_{2}-2q_{1}], wówczas punkt P'' jest obrazem punktu P w translacji o wektor q (istnieje zatem translacja przekształcająca dowolny punkt na jego obraz w złożeniu wyżej opisanych symetrii środkowych - wystarczy, by wektorem przesunięcia był wektor q).

-- 18 maja 2010, 15:03 --

Weźmy dowolny punkt (x,y). Jego obrazem w symetrii względem punktu (p,q) jest punkt (x_{1},y_{1}) taki, że:
\begin{cases} x_{1}=2p-x \\ y_{1}=2q-y \end{cases}
Możemy zatem zapisać równość:
\begin{cases} x=x_{1}+2p \\ y=y_{1}+2q \end{cases}
Rozważmy prostą Ax+By+C=0,A^{2}+B^{2} \neq 0. Dany punkt (x_{1},y_{1}) należy do jej obrazu w podanej symetrii, o ile punkt, którego jest obrazem, należał do prostej (czyli współrzędne tego punktu spełniały równanie tej prostej). Mamy stąd:
A(x_{1}+2p)+B(y_{1}+2q)+C=0
Ax_{1}+2Ap+By_{1}+2Bq+C=0
Ax_{1}+By_{1}+(2Ap+2Bq+C)=0
i otrzymane równanie jest równaniem prostej.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 środkowa,wierzchołek  bucalala  1
 Symetria osiowa niby proste ale...  aswertyui  1
 Symetria osiowa punktu względem dowolnej prostej  Akademicki  2
 Translacja (przekształcenia płaszczyzny)  sophie  3
 Symetria prostej względem prostej. (układ współrzędnych)  Terq  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl