szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lut 2010, o 23:50 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Poznań
obliczyć równanie różniczkowe

y' + 2xy =2xe^{-x^2} \\
y(0)= 2

y(0)= 2 wstawiam jako co?
bardzo dziękuję za pomoc
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lut 2010, o 23:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2524
Lokalizacja: Bytom
Tego warunku używasz na końcu, żeby wyznaczyć stałą C. Na początku rozwiąż to równanie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 lut 2010, o 12:54 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Poznań
y' + 2xy = 0 \\
\frac{dy}{dx} = -2xy \\
\frac{dy}{y} = -2xdx \\
\int \frac{dy}{y} = -2 \int xdx \\
\ln |y| = - x^2 + C \\
|y|= e^{-x^2+C} \\
y= e^C \cdot e^{-x^2}
no i do tego momentu czaje, a zaś nie wiem co jeszcze trzeba zrobić. Rozumiem ze wyszła mi całka ogólna równania jednorodnego?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 lut 2010, o 14:01 
Użytkownik

Posty: 298
Lokalizacja: Polska
y= e^C \cdot e^{-x^2}
oznacz:
C=e^C
a następnie używając metody uzmienniania stałej
C=C(x)

y=C(x) \cdot e^{-x^2}

teraz y'(x) i y(x) podstaw do twojego równania i wyznacz całkę szczególną (r. niejednorodnego). Znowu wyjdzie jakaś stała C i tu dla jej wyznaczenia użyj warunku y(0)= 2.

Pozdrawiam
pingu
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 lut 2010, o 14:03 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2524
Lokalizacja: Bytom
Nie siedzę za bardzo w równaniach różniczkowych, raczkuje to u mnie, ale ja bym to robił tak:

y' + 2xy = 2xe^{-x^2} \\ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = -2xy \\ \frac{\mbox{d}y}{y} = -2x\mbox{d}x \\ \ln |y| = -x^2 + C \\ y = e^{-x^2 + C} = e^C \cdot  e^{-x^2} \\ e^C \mbox{ jest stala, nazwijmy ja D} \\ y = De^{-x^2} \\ D = D(x) \\ y' = D'(x)e^{-x^2} - 2xD(x)e^{-x^2} \\ D'(x)e^{-x^2} - 2xD(x)e^{-x^2} + 2xD(x)e^{-x^2} = 2xe^{-x^2} \\ D'(x) = 2x \\ D(x) = x^2 + F \mbox{  F - stala} \\ y = (x^2+F)e^{-x^2} \\ y = x^2e^{-x^2} + Fe^{-x^2} \\ y(0) = 2 \\ 2 = 0 + F \cdot 1 \\ F = 2 \\ y = (x^2+2)e^{-x^2}

Myślę, że tak, proszę o sprawdzenie. ;)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 lut 2010, o 14:43 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Poznań
Dobrze Ci wyszło:) bo miałem tego wynik. Aby mam małe takie pytanko do tego. Nie bardzo czaje tego momentu gdzie jest rownanie niejednorodne. Jesli wyszlo mi rownanie jednorodne y= e^c\cdot e^{-x^2}, to w dalszym etapie przyjmuje jakas zmienna za to moje e^c, i robię z całości tego równania pochodną? nie ma tu jakiś wielce wzorów na to? i powiedz mi w tym momencie: D'(x)e^{-x^2} - 2xD(x)e^{-x^2} +2xD(x)e^{-x^2}= 2xe^{-x^2} nie wiem właśnie skąd się to wzięło +2xD(x)e^{-x^2}?? tamto to wiadomo ze wzoru na iloczyn pochodnych a to? będę bardzo wdzięczny za wytłumaczenie. Dziękuję i pozdrawiam
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 lut 2010, o 15:04 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2524
Lokalizacja: Bytom
Podstawienie wszystkiego do początkowego równania.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 lut 2010, o 15:06 
Użytkownik

Posty: 298
Lokalizacja: Polska
spójrz na równanie do rozwiązania, tam masz składnik:
2xy=2xD(x)e^{-x^2}

już OKI

pozdrawiam
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiazac równanie różniczkowe  Ana  7
 Rozwiązać równanie różniczkowe  Speedway  1
 rozwiązać równanie różniczkowe - zadanie 2  Szemek  2
 rozwiązać równanie różniczkowe - zadanie 3  bokor  2
 rozwiązac równanie różniczkowe  smyrdz  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl