szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 28 sie 2006, o 12:29 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Częstochowa
Z twierdzenia o trzech ciągach wyznaczyc granice, dla

a_{n}=\sqrt[n]{\frac{(-1)^{n}}{n}+2n}

Z góry dziękuję za pomoc.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 sie 2006, o 12:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2656
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
w takim razie wyznaczamy takie b_{n} i c_{n}, aby b_{n}\leq a_{n} \leq c_{n}.

b_{n}=\sqrt[n]{-\frac{1}{n}+2n}=\sqrt[n]{\frac{2n^{2}-1}{n}}
c_{n}=\sqrt[n]{\frac{1}{n}+2n}=\sqrt[n]{\frac{2n^{2}+1}{n}}

\lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2n^{2}-1}{n}}=\frac{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2n^{2}-1}}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}
a ponieważ 2n^{2}-1>0, to \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2n^{2}-1}=1
i \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1

dlatego \lim_{n\to\infty}b_{n}=1

\lim_{n\to\infty}c_{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2n^{2}+1}{n}}=\frac{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2n^{2}+1}}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}
a ponieważ 2n^{2}+1>0, to \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2n^{2}+1}=1
i \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1

dlatego \lim_{n\to\infty}c_{n}=1

z twierdzenia trzech ciągów wynika więc, że \lim_{n\to\infty}a_{n}=1
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 sie 2006, o 13:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1145
Lokalizacja: z Konopii
\sqrt[n]{n} \ = \ \sqrt[n]{-n \, + \, 2n\,} \ \le \ a_n \, = \, \sqrt[n]{\,\frac{(-1)^n}{n\,} \, + \, 2n \,} \ \le \ \sqrt[n]{n \, + \, 2n \,} \ = \ \sqrt[n]{3n}

... i teraz tylko policzyć granicę \sqrt[n]{n} \ \to \ 1 ...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 obliczyc granice - zadanie 7  casusrad  2
 Obliczyć granicę - zadanie 9  adek  1
 Obliczyć granice - zadanie 15  osada  1
 obliczyc granice - zadanie 18  macieklysy  1
 obliczyć granicę - zadanie 14  Asiuk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl