szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2006, o 09:48 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1729
Lokalizacja: Koszalin
LIGA FORUM MATEMATYKA.PL - WRZESIEŃ


ZADANIE 1

Załóżmy, że funkcja f(x) jest określona na przedziale [a,b] prostej rzeczywistej i jest na tym przedziale całkowalna (w sensie właściwym) wg definicji Riemanna.

Niech:

g_{n}(x) = \. f(a + x\cdot\delta_{n}\), \delta_{n} = \frac{b-a}{n}

Wyznacz granice:

1) \lim_{n\to\infty}\, (1+\,g_{n}(1)\, \cdot\,\delta_{n})(1+\,g_{n}(2)\, \cdot\,\delta_{n})(1+\,g_{n}(3)\, \cdot\,\delta_{n})\,\cdots\,(1+\,g_{n}(n)\, \cdot\,\delta_{n})

2) \lim_{n\to\infty} \, \frac {(n^2+1)(n^2+2)(n^2+3)\,\cdots\,(n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)(n^2-3)\,\cdots\,(n^2-n)}


ZADANIE 2

Znajdź wszystkie trójki liczb całkowitych (a,b,c) spełniające tożsamość:

\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\,=\,2


ZADANIE 3

Na płaszczyźnie leżą ustalone punkty A, B. Niech C leży na symetralnej odcinka AB. Definiujemy następujący ciąg \{C_{n}\}:

C_1 = C

Dalej:

Jeżeli C_{n} leży na odcinku AB, wówczas C_{n+1} nie jest zdefiniowany i ciąg się kończy.

Jeżeli C_{n} nie leży na odcinku AB, wówczas C_{n+1} jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie AC_nB.

Znajdż wszystkie punkty C takie, by ciąg \{C_{n}\} był od pewnego miejsca okresowy.


ZADANIE 4

Znajdź największą i najmniejszą wartość wyrażenia w(w + x)(w + y)(w + z) dla liczb rzeczywistych w, x, y, z takich, że:

w + x + y + z = 0

i

w^7 + x^7 + y^7 + z^7 = 0


ZADANIE 5

Określ, w zależności od parametru a liczbę rozwiązań równania:

|x^2 - ax + a| \, = \, a-3


ZADANIE 6

Wykaż, że dla:

\alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)

zachodzi nierówność:

\log_{\sin\alpha} \left(\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}\right) \, + \,\log_{\cos\alpha} \left(\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}\right) \, \geq \, 2


----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Oto i treści zadań na miesiąc wrzesień. Przypominam:

1. Nieprzekraczalny termin przyjmowania rozwiązań to koniec dnia 15 października.

2. Rozwiązania przesyłamy pocztą elektroniczną pod adres: konkurs@matematyka.pl.

3. Pierwszy mail się liczy.

4. Wszelkie pytania, uwagi, komentarze co do zadań zamieszczamy w stosownym temacie.

5. Pracujemy samodzielnie.

Jury w składzie (obecnie): Arek, liu: życzy Wam powodzenia!!! :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2006, o 10:25 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1729
Lokalizacja: Koszalin
LIGA FORUM MATEMATYKA.PL - PAŹDZIERNIK


ZADANIE 1

Dany jest na płaszczyźnie \Pi niezdegenerowany trójkąt \Delta_{ABC}. Przez punkt P z wnętrza trójkąta prowadzimy proste l, k. m równoległe odpowiednio do boków AB, BC, CA trójkąta. W ten sposób obszar trójkąta zostaje podzielony na trzy mniejsze trójkąty o sumarycznym polu X(P) oraz trzy równoległoboki o sumarycznym polu Y(P) tak, że pole trójkąta \Delta_{ABC} wynosi X(P) + Y(P).

a) Dla punktów P \in int(\Delta_{ABC}) wyznaczyć obraz funkcji:

f: \Pi \rightarrow R_{+},

postaci:

f(P) = \frac{X(P)}{Y(P)}

b) Dla każdej liczby x \in R_{+} będącej wartością funkcji f(P) wyznaczyć miejsce geometryczne f^{-1}(x) \subset  \Pi.

ZADANIE 2

Na płaszczyźnie dany jest okrąg K oraz rozłączna z nim prosta l. P i Q są takimi zmiennymi punktami na prostej l, że okrąg o średnicy |PQ| ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem K (ale nie zawiera okręgu K). Czy istnieje taki ustalony punkt M, że niezależnie od wyboru punktów P, Q, miara kąta PMQ jest stała?

ZADANIE 3

Pierwiastki wielomianu w(x) = x^3 + ax^2 + bx + c są dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Znajdź warunek konieczny i wystarczający do tego, by pierwiastki te były równe \cos A, \,  \cos B, \,  \cos C dla pewnego trójkąta ABC.

ZADANIE 4

Ile jest liczb naturalnych, mniejszych od 10^n, dla których cyfry zapisu dziesiętnego tworzą ciąg niemalejący, a więc ile (dla danego n naturalnego) jest takich naturalnych m, że:

10^n > m = \bigsum_{i=0}^{s} c_{i} \cdot 10^{i} = \overline{(c_{s}c_{s-1}\, ... \, c_{1}c_{0})_{10}}

oraz

c_{s} \leq c_{s-1} \leq \, ... \, \leq c_{1} \leq c_{0}

ZADANIE 5

Funkcję f:R \rightarrow R nazywamy mikrookresową jeżeli wśród jej okresów dodatnich nie ma elementu najmniejszego. Pokazać, że każda funkcja f:R \rightarrow R, której okresami są \sqrt{3} oraz 1, jest mikrookresowa.

ZADANIE 6

Znajdź wszystkie wielomiany p(x) stopnia 5 takie, że zachodzą podzielności:

{}_{(x-1)^3} |{}^ {p(x) + 1}\, \wedge \, {}_{(x+1)^3} |{}^ {p(x) - 1}

------------------

Życzymy powodzenia! :)

Termin nadsyłania rozwiązań (adres: konkurs@matematyka.pl): 15 listopada 2006r.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Liga 2004] Pytania, uwagi do treści zadań...  Arek  20
 [Liga 2004] Oceny za zadania  Arek  2
 [Liga 2004] Klasyfikacje  Arek  0
 [Liga 2004] Dyskusja  Arek  79
 [Liga 2006] Klasyfikacje, oceny, rozwiązania  Arek  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl