szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 19 gru 2009, o 20:52 
Użytkownik

Posty: 79
Lokalizacja: żory
Witam

bardzo proszę o pomoc w takim zadaniu:

Sprawdzić, że wektory \vec{u} = [1,0,1], \vec{v} = [2,-1,0], \vec{w} = [0,2,1] nie leżą w jednej płaszczyźnie.
Przedstawić wektor [3,1,-1] za pomocą powyższych wektorów.
Czy wektory [1,0,1], [2,-1,0], [3,-2,-1] leżą w jednej płaszczyźnie?

dziękuję za pomoc

pozdrawiam
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 gru 2009, o 11:01 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Żeby zbadać, czy trzy wektory leżą w jednej płaszczyźnie, trzeba po prostu sprawdzić, czy te wektory są liniowo niezależne. Jeśli tak, to nie mogą leżeć w jednej płaszczyźnie, bo generują całą przestrzeń \Re^{3}.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 gru 2009, o 19:46 
Użytkownik

Posty: 79
Lokalizacja: żory
szczerze mowiac niebardzo rozumiem, czy moglby ktos to obliczyc?
dziekuje
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 gru 2009, o 13:10 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Sprawdzasz, w jaki sposób można przedstawić wektor zerowy za pomocą liniowej kombinacji danych wektorów:
i\vec{u} +j\vec{v} +k\vec{w}=\vec{0}
i[1,0,1] + j[2,-1,0] + k[0,2,1]=[0,0,0]
[i+2j,-j+2k,i+k]=[0,0,0]
\begin{cases} i+2j=0 \\ -j+2k=0 \\ i+k=0 \end{cases}
\begin{cases} i=-2j \\ k=2j \\ 3j=0 \end{cases}
\begin{cases} i=0 \\ j=0 \\ k=0 \end{cases}

Można to zatem zrobić tylko w trywialny sposób, czyli te wektory są liniowo niezależne = niewspołpłaszczyznowe.

Teraz chcesz za pomocą tych wektorów przedstawić wektor [3,1,-1]. Piszesz więc:
i\vec{u} +j\vec{v} +k\vec{w}=[3,1,-1]
i[1,0,1] + j[2,-1,0] + k[0,2,1]=[3,1,-1]
[i+2j,-j+2k,i+k]=[3,1,-1]
\begin{cases} i+2j=3 \\ -j+2k=1 \\ i+k=-1 \end{cases}
\begin{cases} i=-3 \\ j=3 \\ k=2 \end{cases}
Rozwiązaniem jest więc -3\vec{u} +3\vec{v} +2\vec{w}

-- 21 grudnia 2009, 12:15 --

Żeby sprawdzić, czy wektory [1,0,1], [2,-1,0], [3,-2,-1] leżą w jednej płaszczyźnie, próbujesz przedstawić wektor zerowy za pomocą liniowej kombinacji tych wektorów:
i[1,0,1]+j[2,-1,0]+k[3,-2,-1]=[0,0,0]
[i+2j+3k,-j-2k,i-k]=[0,0,0]
\begin{cases} i+2j+3k=0 \\ -j-2k=0 \\ i-k=0 \end{cases}
\begin{cases} k+2j+3k=0 \\ -j-2k=0 \\ i=k \end{cases}
\begin{cases} 4k+2j=0 \\ -j-2k=0 \\ i=k \end{cases}
\begin{cases} j+2k=0 \\ i=k \end{cases}

Za pomocą tych trzech wektorów można zatem w nietrywialny sposób przedstawić wektor zerowy (np. kładąc i=1,j=-2,k=1), zatem te wektory leżą w jednej płaszczyźnie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wzajne położenie prostej i okregu  celia11  2
 Rzut prostej w przestrzeni na plaszczyzne  maturzysta234  1
 Położenie punktów względem elipsy.  Mr_Green  1
 układ współrzędnych; położenie punktu  cooge  5
 Odległość punktu od prostej w przestrzeni - zadanie 2  ZaKooN  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl