szukanie zaawansowane
 [ Posty: 53 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3, 4  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 01:32 
Użytkownik

Posty: 9834
Lokalizacja: Bydgoszcz
Znalazłem w starych papierach kartkę z kółka matematycznego H. Pawłowskiego, z zadaniami które przygotował nam w ramach treningu przed drugim etapem L Olimpiady Matematycznej. Ponieważ nie sądzę, by pan Pawłowski miał coś przeciwko, pozwolę sobie zamieścić je na forum, bo trening na pewno się wielu osobom przyda (mi się wtedy przydał ;) ).

Link do drugiej serii
Link do trzeciej serii
Link do serii przedfinałowej

(zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono)

Zadanie 1 - rozwiązane przez jerzozwierza
Ciąg (a_n) jest określony następująco:
a_1=1, a_{n+1}=a_n^3+1 dla n=1,2,3, \dots
Rozstrzygnij które wyrazy tego ciągu są podzielne przez 1998.

Zadanie 2 - rozwiązane przez binaja
W czworościanie ABCD mamy dane: |AB|=|CD|=p, |AC|=|BD|=q, |AD|=|BC|=r. Punkty K i L są środkami odpowiednio krawędzi AB i CD. Na odcinku KL znajdź takie punkty E i F, dla których suma |AE|^2+|EF|^2+|FC|^2 osiąga wartość najmniejszą.

Zadanie 3 - rozwiązane przez Świstaka
Wewnątrz równoległoboku ABCD obrano punkt P. Wykaż, że \sphericalangle  APB +  \sphericalangle CPD = 180^o wtedy i tylko wtedy, gdy \sphericalangle PDC =   \sphericalangle PBC.

Zadanie 4 - rozwiązane przez klaustrofoba
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 1999^{2^n}-1 jest podzielna przez 2^{n+2}.
Uwaga: zachodzi mocniejsza teza: 2^{n+4}| \left( 1999^{2^n}-1\right), na co zwrócił uwagę Kimon.

Zadanie 5 - rozwiązane przez SchmudeJanusza, mzs i Qnia
Wykaż, że z odcinków długości a,b,c można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb p i q spełniających warunek p+q=1 zachodzi nierówność pa^2+qb^2> pqc^2.

Zadanie 6 - rozwiązane przez Dumla i Ponewora
Liczby nieujemne a,b,c,d spełniają warunek a+b+c+d=2. Udowodnij, że
\frac{a+1}{a^2+1}+ \frac{b+1}{b^2+1}+\frac{c+1}{c^2+1}+\frac{d+1}{d^2+1}\leq \frac{24}{5}.

Zadanie 7
W międzynarodowej konferencji naukowej wzięło udział 1998 uczonych. Wśród każdych trzech naukowców co najmniej dwóch włada tym samym językiem, a każdy z uczestników konferencji zna co najwyżej pięć języków. Udowodnij, że co najmniej 200 uczonych zna ten sam język.

Zadanie 8 - rozwiązanie przez mola książkowego
Dana jest liczba całkowita a oraz liczba pierwsza p. Wykaż, że jeżeli p| 5a-1 i p|a-10, to p|a-3.

Zadanie 9 - rozwiązanie przez Sienka
Przekątne AC i BD czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie S; Q jest środkiem boku AB, zaś P i R są rzutami prostokątnymi punktu S odpowiednio na proste AD i BC. Udowodnij, że |PQ|=|QR|.

Zadanie 10 - rozwiązane przez binaja, Vaxa i Ponewora
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c zachodzi nierówność:
\left( 1+\frac{a}{b} \right)  \left( 1+\frac{b}{c} \right)  \left( 1+\frac{c}{a} \right)   \ge 2  \left( 1 +\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right).

Zadanie 11 - rozwiązane przez Ponewora
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n:
(1998n)! \le  \left( \frac{3995n+1}{2} \cdot \frac{3993n+1}{2} \cdot \frac{3991n+1}{2} \cdot \dots \cdot \frac{n+1}{2}  \right)^n.

Zadanie 12 - rozwiązane przez pawelsuza
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równanie:
(x+1998)(x+1999)(x+2000)(x+2001)+1=0.

Zadanie 13 - rozwiązane przez timona92
Wyznacz wszystkie funkcje f:\mathbb{R}  \backslash \{ 0 \}  \rightarrow \mathbb{R} spełniające warunki:
(i) f(-x)=f(x) dla x \neq 0;
(ii)f  \left( \frac{1}{x+y} \right) = f \left( \frac{1}{x}\right) +f \left(\frac{1}{y} \right) +2(xy-1000) dla x\neq 0, y\neq 0, takich, że x+y \neq 0.

Zadanie 14
Wyznacz wszystkie liczby naturalne n, dla których prawdziwe jest twierdzenie:
Dla każdej liczby naturalnej m liczba
(1+n)^{n^{m-1}}-n^m -1 jest podzielna przez n^{m+1}.

Zadanie 15 - rozwiązane przez limesa123 i Dumla
Dany jest zbiór n-elementowy A oraz jego podzbiory A_1,A_2, \dots , A_m, z których żaden nie zawiera się w drugim. Udowodnij, że:
1^o \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{{n \choose |A_i|}} \leq 1;

2^o \sum_{i=1}^{m} {n \choose |A_i|} \geq m^2.

Zadanie 16 - rozwiązane przez mola książkowego
Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p, dla których układ równań
\begin{cases} 2x^2=p+1 \\ 2y^2 = p^2+1 \end{cases}
ma rozwiązanie w liczbach całkowitych x,y.

Zadanie 17 - rozwiązane przez mola książkowego
Dodatnie liczby a,b,c spełniają warunek abc=1. Wykaż, że:
\frac{1+ab}{1+a}+\frac{1+bc}{1+b}+\frac{1+ca}{1+c} \geq 3 .

Zadanie 18 - rozwiązane przez timona92
Styczna do okręgu wpisanego w trójkąt ABC, równoległa doboku BC, przecina boki AB i CA tego trójkąta odpowiednio w punktachD i E. Udowodnij, że:
8|DE| \leq |AB|+|BC|+|CA| .

Zadanie 19
Ciąg (x_n) określony jest następująco:
x_1=1
x_{n+1}=\frac{n^2}{x_n}+\frac{x_n}{n^2} +2 dla n=1,2,3, \dots .
Wykaż, że \lfloor x_n \rfloor =n dla każdego n \geq 4.

Zadanie 20 - rozwiązane przez WC Pikera
Rozwiąż w liczbach nieujemnych x,y układ równań:
\begin{cases} 
2^{x^4+y^2} +2^{x^2+y^4}=8 \\ 
x+y=2
 \end{cases} .

Zadanie 21 - rozwiązanie podane przez JanuszaSchmude
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a_1,a_2, \dots , a_n oraz b_1,b_2, \dots ,b_n zachodzi nierówność:
n  \left( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i  + \sqrt{ \left(  \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)  \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) }  \right) \geq 2  \left(  \sum_{i=1}^{n} a_i \right)  \left( \sum_{i=1}^{n}b_i  \right) .

Zadanie 22 - rozwiązane przez Dumla i timona92
Wykaż, że dla dowolnych liczb wymiernych p,q,r zachodzi nierówność:
\left(1 + \frac{p+q}{r} \right)^r \left(1 + \frac{q+r}{p} \right)^p\left(1 + \frac{r+p}{q} \right)^q \leq 3^{p+q+r} .

Zadanie 23 - rozwiązane przez mola książkowego i timona92
Udowodnij, że jeżeli dodatnie liczby wymierne a,b,c są długościami boków trójkąta, to:
\left( 1+ \frac{a-b}{c}\right)^c \left( 1+ \frac{b-c}{a}\right)^a \left( 1+ \frac{c-a}{b}\right)^b \leq 1 .

Zadanie 24 - rozwiązane przez timona92
Na bokach BC i CD kwadratu ABCD obrano odpowiednio takie punkty P i Q, że prosta PQ jest styczna do okręgu o środku A i promieniu AB. Odcinki AP i AQ przecinają przekątną BD w punktach R i S. Wykaż, że punkty C,P,Q,R,S leżą na jednym okręgu.

Zadanie 25 - rozwiązane przez WC Pikera
Wykaż, że jeżeli x_1, x_2 \dots , x_9 \in <0;2>, zaś y_1,y_2, \dots , y_9 \in <0;4>, to dla pewnych 1 \leq i \neq j \leq 9
(x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2 \leq 2 .

Zadanie 26 - rozwiązane przez pawelsuza
Ciąg (a_n) jest określony następująco:
a_1=19, a_2 =98, a_{n+2} jest resztą z dzielenia przez 100 liczby a_n+a_{n+1}, dla n=1,2,3, \dots.
Udowodnij, że suma:
a_1^2+a_2^2+\dots + a_{1998}^2
jest podzielna przez 8.

Powodzenia!

Q.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 03:09 
Użytkownik

Posty: 5803
Lokalizacja: Kraków
8
Ukryta treść:    

17
Ukryta treść:    

23
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 09:52 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: za klozetem
25.
Ukryta treść:    


20.
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 13:56 
Użytkownik

Posty: 2000
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
zad. 6.:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 15:18 
Użytkownik

Posty: 5803
Lokalizacja: Kraków
16
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 15:25 
Użytkownik

Posty: 2000
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
zad. 22.:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 16:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
Zad. 4
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 17:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1493
Lokalizacja: Katowice
23.:    

22.:    

24.:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 19:28 
Użytkownik

Posty: 569
Lokalizacja: BK
Tutaj były bzdury:d

zad 12:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 20:08 
Użytkownik

Posty: 2000
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
czy treść zadania 7. jest ok? pytam bo nie dość że to zadanie jest bardzo łatwe, to jeszcze teza jest strasznie słaba.

a mój nick w bierniku odmienia się: Dumla
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 20:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1873
Lokalizacja: Warszawa
3 to dość stare.
zad 3:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 20:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 526
Lokalizacja: Rzeszów
Zad. 1

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 22:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1493
Lokalizacja: Katowice
13.:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2009, o 23:16 
Użytkownik

Posty: 116
Lokalizacja: nikąd
Ktoś może pokazac zastosowanie Jensena w 23, bo molu nie rozwinął a za bardzo nie widzę
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 gru 2009, o 01:38 
Użytkownik

Posty: 9834
Lokalizacja: Bydgoszcz
Dumel napisał(a):
czy treść zadania 7. jest ok?

Przepisałem z kartki chyba dobrze (nie mogę sprawdzić, bo gdzieś się zapodziała), ale nie wykluczam, że w zadaniu jest jakiś błąd.

Cytuj:
a mój nick w bierniku odmienia się: Dumla

Ok, pardą, ale reguły języka polskiego nie rozstrzygają tego jednoznacznie, a nie mogłem wiedzieć jaką formę wolisz ;).

qwass napisał(a):
Ktoś może pokazac zastosowanie Jensena w 23, bo molu nie rozwinął a za bardzo nie widzę

Ponieważ f(x)= \ln x jest wklęsła, więc dla sumujących się do jedynki dodatnich wag p,q,r mamy:
p \ln x +q \ln y + r\ln z \leq \ln (px+qy+rz)
Wystarczy teraz przyjąć wagi p=\frac{c}{a+b+c}, q=\frac{a}{a+b+c},r=\frac{b}{a+b+c} oraz x=\frac{a-b+c}{c}, y = \frac{a+b-c}{a}, z =\frac{-a+b+c}{b}, by otrzymać żądaną nierówność.

pawelsuz napisał(a):
Wystarczy teraz zauważyć, że
2 \left( 1 +\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right) \le 2(1+ \frac{3 \sqrt[3]{abc} }{ \sqrt[3]{abc} })

Na pewno w dobrą stronę ta nierówność? ;)

Swistak napisał(a):
Przesuwamy trójkąt APB o wektor AC (no, w dobrą stronę xp)

Chyba o AD. No i nie można przesunąć o jakiś wektor w "złą stronę", bo stronę tenże wektor wyznacza ;).

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 53 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3, 4  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Teoria liczb] Zadania z potęgami liczby 11 - zadanie 2  zbystura  5
 [MIX] Zadania przygotowawcze do Konkursu Podkarpackiego  Nycze  31
 [Kombinatoryka] Zadania z Dirichleta  szablewskil  3
 [Wielomiany] Zadania z tw. Bezouta  szablewskil  2
 [Planimetria] 2 zadania z geometrii - zadanie 2  taka_jedna  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl