szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lis 2009, o 00:36 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: wawa
Witam. Mógłbym ktoś pomóc w rozwiązaniu takich równań:

1. y'= \frac{2xy}{x ^{2}-y ^{2}  }
2. y'= \frac{y ^{2}-2xy-x ^{2}}{y ^{2}+2xy-x ^{2}  }
Z góry dziękuje. Pozdrawiam
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Kobieta
PostNapisane: 26 lis 2009, o 01:02 
Użytkownik

Posty: 5356
Lokalizacja: Gliwice
W obu podziel licznik i mianownik przez x^2 i podstawienie t=\frac{y}{x}\  \Rightarrow \ y=tx\  \Rightarrow \ y'=t'x+t

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lis 2009, o 01:05 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: wawa
No właśnie próbowałem zrobić w ten sposób ale coś mi nie wychodzi. Mógłbyś mi rozpisać dla przykładu to pierwsze róznanie, byłbym bardzo wdzięczny.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 26 lis 2009, o 01:46 
Użytkownik

Posty: 5356
Lokalizacja: Gliwice
y'= \frac{2xy}{x ^{2}-y ^{2} }=\frac{\frac{2y}{x}}{1-\frac{y^2}{x^2}}

Po podstawieniu masz

t'x+t=\frac{2t}{1-t^2}\  \Rightarrow \ t'x=\frac{2t-t+t^3}{1-t^2}\  \Rightarrow \ \frac{1-t^2}{t+t^3}dt=\frac{dx}{x}

Dalej, rozkład na ułamki proste \frac{1-t^2}{t+t^3}=\frac{1}{t}-\frac{2t}{1+t^2}

Zatem mamy po obliczeniu całek

ln|t|-ln(1+t^2)=ln|x|+ln|c|\  \Rightarrow \ cx=\frac{t}{1+t^2}

Podstawiasz t=\frac{y}{x} i upraszczasz. Wynik wychodzi w postaci uwikłanej.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lis 2009, o 01:58 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: wawa
A jak dzielimy wszystko przez x ^{2} to nie powinno być \frac{y'}{x ^{2} }= \frac{2t}{1-t ^{2} }??
Góra
Kobieta
PostNapisane: 26 lis 2009, o 02:09 
Użytkownik

Posty: 5356
Lokalizacja: Gliwice
Ale to nie będzie to samo równanie :P

Nie dzielimy obu stron równania, dzielimy tylko po prawej stronie - i licznik i mianownik.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lis 2009, o 02:21 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: wawa
Acha, to dlatego mi nie wychodziło. Wielkie dzięki, pozdrawiam
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe I rzędu  Ana  3
 równanie różniczkowe I rzędu - zadanie 2  ernest180  1
 Równanie różniczkowe I rzędu - zadanie 3  Marekzt  4
 Równanie różniczkowe I rzędu - zadanie 4  jukke  1
 równanie różniczkowe I rzędu - zadanie 6  kociax  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl