szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 24 lis 2009, o 22:39 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
Witam.
Mam problem z ruszeniem równania :
\sqrt{xy} + x \frac{dy}{dx} = y

Podnosiłem do kwadratu, robiłem podstawienia a i tak wychodzą głupoty.
Jakby ktoś miał pomysł co z tym zrobić (nie obrażę się za gotowe rozwiązanie) byłbym bardzo wdzięczny.

Pozdrawiam.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lis 2009, o 01:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4819
Lokalizacja: Gdańsk
Najpierw wypadałoby podzielić przez x i odpowiednio uporządkować, żeby coś zauważyć.
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \sqrt{\frac{y}{x}}

Mamy równanie postaci \frac{dy}{dx} = f\left( \frac{y}{x} \right). Podstawiamy u=\frac{y}{x}. Dalsze obliczenia pozostawiam Tobie - do rozwiązania będzie proste równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.

Ostatecznie wyszło mi y=\frac{1}{4}x \ln^2 \frac{C}{x}. Sprawdzenie dokonujesz przez wstawienie wyniku do równania.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 lis 2009, o 17:53 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
Wielkie dzieki Szemek.
Uratowałeś mnie :).

-- 25 lis 2009, o 19:20 --

zacząłem rozwiązywać te zadanko i coś mi się wynik różni.
Znając mnie to gdzieś się machnąłem, albo coś źle policzyłem.
Jakby ktoś mógł zerknąć

\sqrt{x*y} + x  \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = y /:x

\frac{ \sqrt{x*y} }{x}+ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } =  \frac{y}{x}

\sqrt{ \frac{x*y}{ x^{2} }}  +  \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } =  \frac{y}{x}

\sqrt{ \frac{y}{x} } +   \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }    =  \frac{y}{x}
----------------------
Podstawienie :

\frac{y}{x} = u



\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }  =  \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x } + x + u
----------------------

\sqrt{u}  + x \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }  + u = u

\sqrt{u} = -x \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }

\frac{ \sqrt{u} }{-x} =   \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }

\frac{ \mbox{d}u }{ \sqrt{u} } =  \frac{ \mbox{d}x }{-x}

=====
Całkuję obustronnie :
\int_{}^{}  \frac{ \mbox{d}u }{ \sqrt{u} } = 2 \sqrt{u} + C


\int_{}^{}  \frac{ \mbox{d}x }{-x} = -ln|x| + c
=====
2 \sqrt{u}  = -ln|x| + c /:2

u =   \left(  \frac{-ln|x| + c}{2}  \right)  ^{2}

No i na końcu wracam do podstawienia y=u*x
i wychodzi takie coś:
y =  \frac{1}{4}x \left(ln ^{2}|x| +  c^{2}   \right)

Jakby nie patrzeć wynik jest podobny do wyniku Szemka. Ale "prawie" robi wielką różnicę.
Jak ktoś zauważył błąd to niech wskaże gdzie go popełniłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiazac równanie różniczkowe  Ana  7
 Rozwiązać równanie różniczkowe  Speedway  1
 rozwiązać równanie różniczkowe - zadanie 2  Szemek  2
 rozwiązać równanie różniczkowe - zadanie 4  Anonim18  7
 rozwiązac równanie różniczkowe  smyrdz  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl