szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 21 lis 2009, o 16:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4819
Lokalizacja: Gdańsk
Mam do rozwiązania takie równanie różniczkowe i nie mam pomysłu jak je ugryźć.
Cytuj:
Znajdź całkę ogólną równania różniczkowego
2\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \sin x + y \cos x = y^3 (x\cos x - \sin x)

Będę wdzięczny przede wszystkim za wskazówki.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 lis 2009, o 16:26 
Gość Specjalny

Posty: 8602
Lokalizacja: Kraków
Równanie Bernoulliego - podziel wpierw przez y^3 i podstaw p = y^{-2}.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 lis 2009, o 07:15 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4819
Lokalizacja: Gdańsk
Dzięki.

Poniżej zamieszczam swoje rozwiązanie.
2\frac{dy}{dx} \sin x + y\cos x = y^3(x\cos x - \sin x) \\
2y^{-3} \frac{dy}{dx} \sin x + y\cos x = x\cos x - \sin x \\
p = y^{-2} \\
\frac{dp}{dx} = -2y^{-3} \frac{dy}{dx} \\
-\frac{dp}{dx}\sin x + p\cos x = x\cos x - \sin x \\
\frac{dp}{dx} - \frac{\cos x}{\sin x} p  = 1 - x\frac{\cos x}{\sin x}
Rozwiązuję równanie jednorodne:
\frac{dp}{dx} = \frac{\cos x}{\sin x} p \\
\frac{dp}{p} = \frac{\cos x}{\sin x} dx \\
\ln|p| = \ln|C\sin x| \\
p = C\sin x
Metoda uzmienniania stałej:
p = C(x)\sin x \\
\frac{dp}{dx} = C'(x)\sin x + C(x)\cos x \\
C'(x)\sin x + C(x)\cos x - C(x)\cos x = 1 - x\frac{\cos x}{\sin x} \\
C'(x) = \frac{1}{\sin x} - x\frac{\cos x}{\sin^2 x} \\
C(x) = \frac{x}{\sin x} + C_1

p = x + C_1\sin x \\
y^{-2} = x + C_1\sin x \\
y^2 = \frac{1}{x + C_1 \sin x}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiazac równanie różniczkowe  Ana  7
 Rozwiązać równanie różniczkowe  Speedway  1
 rozwiązać równanie różniczkowe - zadanie 3  bokor  2
 rozwiązać równanie różniczkowe - zadanie 4  Anonim18  7
 rozwiązac równanie różniczkowe  smyrdz  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl