szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 18 wrz 2009, o 22:49 
Użytkownik

Posty: 26
Przez punkt wspólny płaszczyzny \pi i prostej l poprowadzić prostą leżącą w płaszczyźnie \pi i prostopadłej do l.

{\pi}: x+y+z+1=0
l: \begin{cases} y-1=0 \\ z+1=0 \end{cases}

Punktem wspólnym będzie P(-1,1,1).
m=? , m{\in}{\pi} , m{\perp}l

\vec{n}{\perp}{\pi}
\vec{n}=[1,1,1]
Z tego wynika, że prosta m{\perp}\vec{n}

Jak określić kierunek prostej l? Jakie jest równanie ogólne tej prostej?
Czy prosta l to prosta o stałych współrzędnych y i z i zmiennym x?
Jeżeli tak to chyba kierunkiem prostej będzie wersor: \vec{v}=[1,0,0]

Czyli mam kierunki prostej l i płaszczyzny {\pi}. Z tego wynika, że wektor kierunkowy prostej m ma być prostopadły do \vec{n}=[1,1,1] i \vec{v}=[1,0,0]. Obliczając iloczyn wektorowy tych wektorów otrzymam trzeci wektor prostopadły do obydwu. Będzie on jednocześnie należał do płaszczyzny {\pi}.
Po obliczeniu iloczynu wychodzi: \vec{w}=[0,-1,1], jest to kierunek prostej m.

Zapisuję prostą m przechodzącą przez punkt P(-1,1,1) i o kierunku \vec{w} w postaci parametrycznej:
\begin{cases} x = -1 + 0 \cdot t \\ y= 1 -1 \\ z= 1 + 1 \cdot t \end{cases}

Proszę napisać, czy moje rozumowanie jest poprawne. Czy jest jakaś lepsza metoda na rozwiązanie tego zadania?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 wrz 2009, o 00:58 
Użytkownik

Posty: 1958
Lokalizacja: Wrocław
Pora już troche późna i ma nadzieję, że dobrze zrozumiałem treść ;)
si1van napisał(a):
Punktem wspólnym będzie P(-1,1,1).

Powinno być : P=(-1,1,-1)
si1van napisał(a):
Jak określić kierunek prostej l? Jakie jest równanie ogólne tej prostej?
Czy prosta l to prosta o stałych współrzędnych y i z i zmiennym x?
Jeżeli tak to chyba kierunkiem prostej będzie wersor: \vec{v}=[1,0,0]

Po kolei ;) :
Równanie ogólne zawsze kojarzy mi się z płaszczyzną , ale za to wiem jak wyznaczyc równanie parametryczne prostej l .Zauważmy, że uklad równań :
l: \begin{cases} y-1=0 \\ z+1=0 \end{cases}
Możemy zapisać w postaci:
l: \begin{cases} x=0+1 \cdot t\\ y=0+0 \cdot t \\ z=-1+ 0\cdot t  \ \ \ t \in \mathbb{R}\end{cases}
Stąd łatwo odczytujemy wektor kierunkowy prostej l a mianowice: (1,0,0).
Swoją drogą twoje rozumowanie również jest poprawne ;)
si1van napisał(a):
Czyli mam kierunki prostej l i płaszczyzny {\pi}. Z tego wynika, że wektor kierunkowy prostej m ma być prostopadły do \vec{n}=[1,1,1] i \vec{v}=[1,0,0]. Obliczając iloczyn wektorowy tych wektorów otrzymam trzeci wektor prostopadły do obydwu. Będzie on jednocześnie należał do płaszczyzny {\pi}.
Po obliczeniu iloczynu wychodzi: \vec{w}=[0,-1,1], jest to kierunek prostej m.

Zgadzam się.
si1van napisał(a):
Zapisuję prostą m przechodzącą przez punkt P(-1,1,1) i o kierunku \vec{w} w postaci parametrycznej:
\begin{cases} x = -1 + 0 \cdot t \\ y= 1 -1 \\ z= 1 + 1 \cdot t \end{cases}

Po uwzględnieniu moich poprawek powinno być:
\begin{cases} x = -1 + 0\cdot t  \\ y= 1 -1 \cdot t \\ z= -1 + 1 \cdot t \end{cases}
si1van napisał(a):
Proszę napisać, czy moje rozumowanie jest poprawne. Czy jest jakaś lepsza metoda na rozwiązanie tego zadania?

Szczerze nie wiem czy jest jakaś lepsza metoda. Ja również bym raczej szedl w tym kierunku co Ty ;)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 wrz 2009, o 12:17 
Użytkownik

Posty: 26
Kamil_B napisał(a):
Równanie ogólne zawsze kojarzy mi się z płaszczyzną , ale za to wiem jak wyznaczyc równanie parametryczne prostej l .Zauważmy, że uklad równań :
l: \begin{cases} y-1=0 \\ z+1=0 \end{cases}
Możemy zapisać w postaci:
l: \begin{cases} x=0+1 \cdot t\\ y=0+0 \cdot t \\ z=-1+ 0\cdot t  \ \ \ t \in \mathbb{R}\end{cases}
Stąd łatwo odczytujemy wektor kierunkowy prostej l a mianowice: (1,0,0).


Chyba powinno być tak:
l: \begin{cases} x=0+1 \cdot t\\ y=1+0 \cdot t \\ z=-1+ 0\cdot t  \ \ \ t \in \mathbb{R}\end{cases}

Ten zapis ułatwia odczytanie kierunku prostej. Dzięki. Teraz już będę wiedział jak zapisać taką prostą w jaśniejszej postaci.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 wrz 2009, o 12:25 
Użytkownik

Posty: 1958
Lokalizacja: Wrocław
Tak , zgadza się. Dzieki za poprawienie :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Prosta i płaszczyzna - zadanie 5  leon90  3
 prosta i płaszczyzna - zadanie 12  awdesq  1
 prosta i płaszczyzna - zadanie 7  dawwidp  1
 Prosta i płaszczyzna - zadanie 9  Kanodelo  3
 prosta i płaszczyzna - zadanie 10  Andreas  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl