szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 16 wrz 2009, o 21:58 
Użytkownik

Posty: 5820
Lokalizacja: Kraków
Definicja
Niech f, g :
f(x)=a_nx^n+....+a_1x+a_0
g(x)=b_mx^m+....+b_1x+b_0
a_n \neq 0, \ a_m \neq 0

Definiuje się wyznacznik R(f,g), który zwie się rugownikiem. Ogólnie jest on stopnia n+m. Jego pierwsze m wierszy tworzą liczby a_j, które kolejno "przesuwają sie" z lewa na prawo. Następne jego n wierszy tworzą liczby b_j, które też kolejno "przesuwają sie" z lewa na prawo. "Puste miejsca" wypełnia sie zerami.
Uwaga: Zakładamy, ze liczby a_j i b_j są to liczby rzeczywiste.

Przykład dla n=3, \ m=2
R(f,g)=\left|\begin{array}{ccccc}a_3&a_2&a_1&a_0&0\\0&a_3&a_2&a_1&a_0\\b_2&b_1&b_0&0&0\\0&b_2&b_1&b_0&0\\ 0&0&b_2&b_1&b_0\end{array}\right|
gdy
f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
g(x)=b_2x^2+b_1x+b_0


Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, by f i g miały wspólny pierwiastek jest by
R(f, g)=0


Definicja
Jeśli mamy wielomian f(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0, i a_n \neq 0, to jego wyróżnikiem jest liczba D(f)= \frac{1}{a_n} (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} R(f, f^{\prime})

Można wykazać, że gdy f(x)=a_n(x-x_1)...(x-x_n) to
D(f)= a_n^{2n-2} \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_i-x_j)^2
Jeśli f ma p par pierwiatków zepolonych sprzęzonych , to sgn(D(f))= (-1)^p o ile D(f) \neq 0


Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby f posiadał pierwiastek wielokrotny jest by D(f)=0


Przykład
Niech f(x)=ax^2+bx+c, a \neq 0 to D(f)=\frac{1}{a}(-1)^1 \left|\begin{array}{cccc}a&b&c\\2a&b&0\\0&2a&b\end{array}\right| =b^2-4ac
tj po prostu \Delta Delta !


Przykład
Niech f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, a \neq 0, to D(f)= -27a^2d^2 +b^2c^2 -4b^3d -4ac^3+18abcd
w szczególnosci gdy
f(x)=x^3+px+q, to D(f)=-108(\frac{q^2}{4}+ \frac{p^3}{27})
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę)  Raz0r  2
 Wyróżnik wielomianu - zadanie 2  rtuszyns  1
 Wyróżnik trójmianu  Freddie  2
 wyróżnik równania kwadratowego - zadanie 2  darek20  1
 wyróżnik równania kwadratowego  tom20  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl