szukanie zaawansowane
 [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 11:28 
Użytkownik

Posty: 140
Mam problem z takim zadaniem
Uprość wyrażenie sin \alpha \cdot  \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha } i oblicz jego wartość dla kąta \alpha = 210 ^{o}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 11:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 285
Lokalizacja: Wrocław
Może to pomoże?

11923.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 11:46 
Użytkownik

Posty: 140
Szczerze mówiąc nie wiem sam, wyszło mi takie coś ;/
sin \alpha + |ctg \alpha |

Coś chyba źle liczę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 11:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
Skorzystaj z tablic:

1 + ctg ^{2}  \alpha =  \frac{1}{sin ^{2}  \alpha }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 11:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 285
Lokalizacja: Wrocław
sin \alpha \cdot  \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha }=-|sin \alpha| \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha }=-\sqrt{sin^{2} \alpha+cos^{2} \alpha}=-1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 12:00 
Użytkownik

Posty: 140
A mógłbyś mi wytłumaczyć krok po kroku jak to obliczyłeś?
Nie potrafię zrozumieć tego zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 12:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
alchemik napisał(a):
sin \alpha \cdot  \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha }=-|sin \alpha| \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha }=-\sqrt{sin^{2} \alpha+cos^{2} \alpha}=-1


Na jakiej podstawie taki znak? Równie dobrze może być 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 12:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 285
Lokalizacja: Wrocław
Jak może być równie dobrze 1, skoro to wyrażenie może przyjmować tylko jedną wartość albo -1 albo 1 :P.

Ponieważ \sqrt{x^{2}}=|x|, a zatem \sqrt{sin^{2} \alpha}=|sin \alpha|, a ponieważ sin \alpha jest mniejsze od 0, więc zachodzi następująca równość:sin \alpha=-|sin \alpha|=-\sqrt{sin^{2} \alpha}
Podstawiając do wyjściowej równości:
sin \alpha \cdot  \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha } = -\sqrt{sin^{2} \alpha} \cdot \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha } = -\sqrt{sin^{2} \alpha +sin^{2} \alpha \cdot \frac{cos^{2} \alpha }{sin^{2} \alpha }}=-1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 15:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
alchemik napisał(a):
ponieważ sin \alpha jest mniejsze od 0, więc zachodzi następująca równość:sin \alpha=-|sin \alpha|=-\sqrt{sin^{2} \alpha}


Dla kąta 210 stopni, ale ogólnie niekoniecznie sin \alpha jest mniejsze od 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 15:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 285
Lokalizacja: Wrocław
no ogólnie oczywiście, że nie, ale w pierwszym poście kąt alfa został zdefiniowany.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 15:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
Czepiam się, ale na klasówce w liceum takie rozwiązanie nie mogłoby być ocenione na maksymalną ilość punktów. Można też skorzystać ze wzoru z tablic, który nie jest trudno udowodnić:

1 + ctg ^{2}  \alpha =  \frac{1}{sin ^{2}  \alpha }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 17:04 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2156
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Czepiasz się. Z całą pewnością za takie rozwiązanie dostałbyś max punktów, a tym bardziej, gdyby zostało poparte komentarzem, dlaczego tak można.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 17:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
Według mnie to zadanie należy traktować jako dwuczęściowe i najpierw uprościć, a dopiero później podać wartość dla tego kąta. Przecież w kluczu są punkty za porządne uproszczenie, a tutaj zostało tylko uproszczone dla pewnego szczególnego przypadku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 18:11 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8294
Lokalizacja: Wrocław
Okej ;)

\sin \alpha  \cdot  \sqrt{1+ \ctg^2 \alpha} = \sin \alpha  \cdot  \sqrt{\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}+ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}= \sin \alpha  \cdot  \sqrt{\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}= \sin \alpha  \cdot \sqrt{\frac{1}{\sin^2 \alpha}}=\sin \alpha  \cdot \left|\frac{1}{\sin \alpha} \right| = \sin \alpha  \cdot \frac{1}{|\sin \alpha|} = \mbox{sgn}(\sin \alpha) - przypadek ogólny.

Dla:

\alpha=210^{\circ} \Rightarrow \sin \alpha = \sin 210^{\circ} \Rightarrow \sin \alpha < 0 \Rightarrow \mbox{sgn}(\sin \alpha) =-1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2009, o 18:18 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2156
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Dasio11, +1 :D

Nie ma to jak zaszpanować na końcu zapisem wykorzystującym fajną funkcję :P

f(\alpha) = \begin{cases} 1 \ \text{dla} \ \alpha \in (0; \pi) \\ -1 \ \text{dla} \ \alpha \in (\pi; 2\pi)\end{cases}

Zatem f(210^{o}) = -1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 uprość wyrażenie - zadanie 36  Nenya  1
 Uprość wyrażenie - zadanie 110  ivanski  2
 Uprość wyrażenie - zadanie 106  MadMajk  4
 uprość wyrażenie - zadanie 38  salieri  1
 Uprość wyrażenie - zadanie 74  Paaulinnkaa93  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl