szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lip 2009, o 23:55 
Gość Specjalny

Posty: 168
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
Zad. 1.

Założenie: xy-x^2y^2 \ge 0  \Leftrightarrow xy \in <0;1>.

Dany układ:
\begin{cases} y^6+y^3+2x^2= \sqrt{xy-x^2y^2}  \\ 4xy^3+y^3+ \frac{1}{2} \ge 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}  \end{cases}

jest równoważny układowi:

\begin{cases} y^6+y^3+2x^2= \sqrt{xy-x^2y^2}  \\ -(y^3-2x)^2+\frac{1}{2}+y^6+y^3+2x^2 \ge \sqrt{1+(2x-y)^2}  \end{cases}

Po podstawieniu w nierówności \sqrt{xy-x^2y^2} za y^6+y^3+2x^2 otrzymujemy:

-(y^3-2x)^2+\frac{1}{2}+\sqrt{xy-x^2y^2} \ge \sqrt{1+(2x-y)^2}
(y^3-2x)^2 \le \frac{1}{2}+\sqrt{xy-x^2y^2}- \sqrt{1+(2x-y)^2}

Zauważmy, że na mocy nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną \sqrt{xy-x^2y^2} \le \frac{1}{2}.
Natomiast \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge 1
Zatem jeśli nasza nierówność ma mieć jakiekolwiek rozwiązania to \sqrt{xy-x^2y^2} = \frac{1}{2} oraz \sqrt{1+(2x-y)^2} = 1, gdyż w przeciwnym przypadku prawa strona nierówności będzie ujemna, a kwadrat liczby rzeczywistej (lewa strona) jest nieujemny.

Mamy więc układ:
\begin{cases} \sqrt{xy-x^2y^2} = \frac{1}{2} \\ \sqrt{1+(2x-y)^2} = 1\\ (y^3-2x)^2 \le 0\end{cases}

równoważny kolejno:

\begin{cases} xy = \frac{1}{2} \\ (2x-y)^2 = 0\\ (y^3-2x)^2 = 0\end{cases}

\begin{cases} xy = \frac{1}{2} \\ y = 2x\\ y^3 = 2x\end{cases}

Jedynymi parami liczb spełniających ten układ są x=\frac{1}{2}\ \ y=1 oraz x=-\frac{1}{2}\ \ y=-1.

Pozostaje jeszcze sprawdzić oba te wyniki.
Po podstawieniu tych par do wyjściowego układu okazuje się, że jedyną parą liczb go spełniającą jest x=-\frac{1}{2}\ \ y=-1.




Zad. 2.

x - masa pierwszego stopu
y - masa drugiego stopu

\frac{1}{3}  x - masa miedzi w pierwszym stopie

\frac{3}{8} y - masa miedzi w drugim stopie

\frac{5}{14}(x+y) - masa miedzi w trzecim stopie


\frac{1}{3}x+\frac{3}{8} y=\frac{5}{14}(x+y)

\frac{3}{8}y-\frac{4}{14}y=\frac{5}{14}x-\frac{1}{3}x

\frac{21}{56}y-\frac{20}{56}y=\frac{15}{42}x-\frac{14}{42}x

\frac{1}{56}y=\frac{1}{42}x

\frac{x}{y}=\frac{42}{56}

\frac{x}{y}=\frac{3}{4}

Odp: Aby otrzymać stop zwierający miedź i cynk w stosunku 5:9 należy dane stopy wziąć w stosunku 3:4.




Zad. 3.

Udowodnimy indukcyjnie, że \forall n \ge 1\quad u_{n}=2^{n-1}+7(2^{n-1}-1)

1) Sprawdzamy dla n_{0}=1
2^{0}+7(2^0-1)=1

2) Sprawdzamy czy z prawdziwości twierdzenia dla n wynika prawdziwość dla n+1. Weźmy dowolne, ale ustalone n \ge 1.

Założenie: u_{n}=2^{n-1}+7(2^{n-1}-1)

Teza: u_{n+1}=2^{n}+7(2^{n}-1)

Dowód:
2^{n}+7(2^{n}-1)=2(2^{n-1}+7*2^{n-1}-7+\frac{7}{2})=2[2^{n-1}+7(2^{n-1}-1)]+7=\\=2u_{n}+7=u_{n+1}

Zatem na mocy Zasady Indukcji Matemtycznej \forall n \ge 1\quad u_{n}=2^{n-1}+7(2^{n-1}-1).


u_{n+1}-u_n=2^{n}+7(2^{n}-1)-[2^{n-1}+7(2^{n-1}-1)]=2^{n-1}+7*2^{n-1}>0
A więc ciąg liczbowy u_n jest ciągiem rosnącym.

Zauważmy, że:
u_{11}=2^{10}+7(2^{10}-1)=8185\\u_{12}=2^{11}+7(2^{11}-1)=16377

Zatem u_{11} < 9001 < u_{12}

Stąd korzystając z faktu, że ciąg u_n jest rosnący otrzymujemy, że największą liczbą naturalną n, dla której zachodzi nierówność u_n<9001 jest n=11.




Zad. 4.

Dla każdego z 25 argumentów funkcja może przyjmować jedną z 31 wartości.
Zatem liczebność zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych |\Omega|=31^{25}

a.
Oczywiście, aby funkcja była rosnąca to musi być również różnowartościowa tj. f(a) \neq f(b) dla a \neq b.
Zauważmy, że dla każdej funkcji funkcji f z danego zbioru funkcja może mieć co najwyżej 6 argumentów a takich, że f(a+1)-f(a)>1. Oczywiście f(b+1)-f(b) \in \{ 1,2,3,4,5,6\}.

Nazwijmy, że dana rosnąca funkcja ma k "nadzwyczajnych wzrostów" jeśli maksimum funkcji wynosi 25+k. Funkcja może mieć umowny "nadzwyczajny wzrost" kilkakrotny dla jednego argumentu gdy \exists a\in D_f  \quad f(a+1)-f(a)>2
Łatwo zauważyć, że funkcja f z danego zbioru może mieć co najwyżej 6 "nadzwyczajnych wzrostów".

Rozważmy teraz liczbę funkcji z danego zbioru w zależności od ilości "nadzwyczajnych wzrostów" oznaczoną przez k.

Zauważmy, że liczba takich funkcji jest równa liczbie sposobów wyboru zbioru k-elementowego ze zbioru 25 elementów z powtórzeniami czyli wariacji k-wyrazowych z powtórzeniami ze zbioru 25-elementowego.
Zatem moc zbioru A, który jest zbiorem zdarzeń sprzyjających a. wyraża się wzorem: 1+25+25^2+25^3+25^4+25^5+25^6=\frac{25^7-1}{24}

A więc P(A)=\frac{25^7-1}{24*31^{25}}


b.
Aby maksimum funkcji f wynosiło 10 to \exists a\in D_f  \quad f(a)=10 oraz dla każdego argumentu a musi zachodzić nierówność f(a) \le 10

A więc wartość dla jednego z argumentów jest równa 10, a każdą z pozostałych 24 możemy wybrać na 10 sposobów spośród liczb 1..10. Daje nam to |B|=10^{24} zdarzeń sprzyjających b.

Zatem P(B)=\frac{10^{24}}{31^{25}}


c.
Zbiorów dwuelementowych ze zbioru 31-elementowego mamy {{31}\choose 2}=465. Zbiór argumentów, których wartości równe są pierwszemu z elementów danego dwuelementowego zbioru możemy wybrać na 2^{25}-2 sposobów, gdyż jest to ilość podzbiorów zbioru 25-elementowego pomniejszona o jeden podzbiór zawierający wszystkie elementy zbioru (ponieważ musi istnieć jakiś argument dla, którego wartość równa jest drugiemu elementowi z danego dwuelementowego zbioru) oraz podzbiór pusty.
A więc moc zbioru zdarzeń sprzyjających c.: |C|=930*(2^{24}-1)

Stąd P(C)=\frac{930(2^{24}-1)}{31^{25}}




Zad. 5.

Mamy równanie: f \left( x \right) + 3 \cdot f \left(  \frac{1}{x} \right) =  x^{2}. Podstawmy w miejsce iksa \frac{1}{x}. Otrzymujemy:

f \left( \frac{1}{x} \right) + 4 \cdot f \left(  \frac{1}{\frac{1}{x}} \right) =  \frac{3}{x} \\ f \left( \frac{1}{x} \right) + 4 \cdot f \left( x \right) =  \frac{3}{x}

Zatem mamy układ równań:
\begin{cases}f \left( x \right) + 4 \cdot f \left(  \frac{1}{x} \right) =  3x\\ f \left( \frac{1}{x} \right) + 4 \cdot f \left( x \right) =  \frac{3}{x} \end{cases}\\ \\ \begin{cases}f \left( x \right) + 4 \cdot f \left(  \frac{1}{x} \right) =  3x \\ -4 \cdot f \left( \frac{1}{x} \right) - 16 \cdot f \left( x \right) =  -\frac{12}{x} \end{cases}

Po dodaniu stronami:
-15 \cdot f(x) = 3x - \frac{12}{x} \\ f(x)=-\frac{3x^2-12}{15x} \\ f(x)=\frac{4-x^2}{5x}

Sprawdzamy, że dana funkcja pasuje do początkowego wzoru:
L=\frac{4-x^2}{5x}+4\frac{4-\frac{1}{x^2}}{5\frac{1}{x}}=\frac{4-x^2}{5x}+\frac{16x^2-4}{5x}=\frac{15x^2}{5x}=3x=P

A więc szukaną funkcją f:\mathbb{R}\\{0\}\mathbb{R} jest f(x)=\frac{4-x^2}{5x}.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 lip 2009, o 00:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Oceny:

Zadanie 1 - 6
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 6
Zadanie 4 - 0
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Zadanie 2: Literówka: \frac{3}{8}y-\frac{\boxed{4}}{14}y=\frac{5}{14}x-\frac{1}{3}x, na szczęście w następnej linijce naprawiona. Staraj się uważać.

Zadanie 4:
a) Liczysz kilkukrotnie te same możliwości. Po prostu zdarzeń sprzyjających jest tyle, co kombinacji 25-elementowych zbioru 31-elementowego (bo dany 25-liczbowy zbiór różnych liczb można tylko w jeden sposób posortować rosnąco).

b) Liczysz kilkukrotnie te same możliwości. Ilość zdarzeń sprzyjających wynosi 10^{25}-9^{25}, zastanów się dlaczego.

c) Ok.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2009, o 19:12 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
Zgadzam się z ocenami zadań.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kategoria II, 4 lipca 2009, 20:37  Liga  2
 Kategoria II, 10 lipca 2009, 15:54  Liga  2
 kategoria I - KPR 6 lutego 2011, 15:39  Liga  1
 Kategoria I, 10 lipca 2009, 18:28  Liga  2
 Kategoria II, 10 lipca 2009, 20:17  Liga  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl