szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lip 2009, o 23:42 
Gość Specjalny

Posty: 168
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
ZADANIE II.1

Jedyne niepełne zadanie z mojej strony. :?
(1a) Sprawdzenie dla x=0 -> sprzeczność, bo z równania wychodzi y=0 (NIE, bo nierówność wychodzi 0,5 \ge 1) lub y=-1 wówczas w nierówności wychodzi -0,5 \ge  \sqrt{2}
(1b) Sprawdzenie dla y=0 -> sprzeczność, bo z równania wychodzi 2x^2 = 0, czyli x=0 (patrz 1a)
Zatem wniosek1: x\neq 0 i y\neq 0

(2) Prawa strona równania
(2a) założenie: xy(1-xy) \ge 0 korzystając z podstawienia xy=t i rozwiązania prostej nierówności kwadratowej otrzymujemy: 0<xy \le 1 -> na wykresie będzie to obszar w ćwiartce I i III pomiędzy osiami i hiperbolą (y=1/x ; z krzywą ale bez osi)
(2b) nawiązując do paraboli t(1-t) z (2a) maximum istnieje dla t=0,5 a wartość w wierzchołku wynosi 0,25. To prowadzi do wniosku iż cała prawa strona równania z zad.1 ma maksymalną wartość \sqrt{0,25}=0,5 , stąd wniosek y^6 + y^3 +2x^2 \le 0,5
wniosek2: Z (a2) wynika, że x i y są tego samego znaku

(3) Lewa strona nierówności
(3a) Ponieważ prawa strona nierówności jest większa od 1 (równa 1 tylko dla x=0 i y=0 a to wykluczyliśmy), to
4xy^3+y^3+0,5>1 czyli
4xy^3+y^3>0,5 czyli
y^3(4x+1)>0,5 czyli aby iloczyn był dodatni, a x i y mają być tego samego znaku to dla y<0 , x < -0,25
(3b) Zatem jak złożymy nierówność z przedostatniej linijki z nierównością z (2b) otrzymamy:
y^6 + y^3 +2x^2 \le 0,5<4xy^3+y^3
y^6 +2x^2<4xy^3 - dzielimy obustronnie przez x^2
\left({\frac{y^3}{x}} \right) ^2 +2<4\frac{y^3}{x} stosujemy podstawienie k=\frac{y^3}{x} , k oczywiście różne od zera.
Powstaje prosta nierówność kwadratowa k^2-4k+2<0
Pomijając oczywistą część dochodzę do rozwiązania:
2-\sqrt{2}< \frac{y^3}{x} < 2+\sqrt{2} Małe przekształcenie i:
Dla x>0
\sqrt[3]{(2-\sqrt{2})x}< y <\sqrt[3]{(2+\sqrt{2})x}
Dla x<0
\sqrt[3]{(2+\sqrt{2})x}< y <\sqrt[3]{(2-\sqrt{2})x}
Obszar będzie dosyć mały, jeśli powyższe nierówności (rozszerzający się "pasek") nałożymy na obszar z (2a) Powstaną dwa obszary (trójkąty krzywoliniowe) o środku symetrii w (0,0) a następnie z wyciętym obszarem w ćwiartce III zgodnie z wnioskiem (3a)
Moim zdaniem nic więcej nie da się wycisnąć z tego :///
-------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------
ZADANIE II.2
Oznaczmy:
S_{1} - stop nr 1 (Stosunek miedzi do cynku 1:2)
x_{1} - ilość miedzi w stopie nr 1
y_{1} - ilość cynku w stopie nr 1
S_{2} - stop nr 2 (Stosunek miedzi do cynku 3:5)
x_{2} - ilość miedzi w stopie nr 2
y_{2} - ilość cynku w stopie nr 2
Zakładam że wszystkie parametry są dodatnie inaczej zadanie jest pozbawione sensu.
Z danych wynika że:
(1) S_{1} = x_{1} + y_{1} oraz S_{2} = x_{2} + y_{2}
(2) \frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{1}{2} oraz \frac{x_{2}}{y_{2}}=\frac{3}{5}

Z (1) i (2) wynika że (dla oszczędzenia czasu sobie i sprawdzającym pominę elementarne przekształcenia i obliczenia):
(3) x_{1}=\frac{1}{3}S_{1} ; y_{1}=\frac{2}{3}S_{1} ; x_{2}=\frac{3}{8}S_{2} ; y_{2}=\frac{5}{8}S_{2}

Niech S_{3} oznacza końcowy stop (Stosunek miedzi do cynku 5:9). Analogicznie pozostałe oznaczenia wyglądają tak: x_{3} - ilość miedzi w końcowym stopie. y_{3} - ilość cynku w końcowym stopie.
Wówczas:
(4) S_{3} = x_{3} + y_{3} oraz \frac{x_{3}}{y_{3}}=\frac{5}{9} stąd też (znów przez analogię) x_{3}=\frac{5}{14}S_{3} ; y_{3}=\frac{9}{14}S_{3}

Ponieważ S_{3} powstał z połączenia S_{1} i S_{2} to:
(5a) S_{3}=S_{1}+S_{2}
Podobnie ma się rzecz z poszczególnymi składnikami tego końcowego stopu:
(5b) x_{3}=x_{1}+x_{2}
(5c) y_{3}=y_{1}+y_{2}

Ustalenia z (3) i (4) podstawiamy do (5b) i (5c) otrzymujemy układ równań:
\begin{cases} \frac{5}{14}S_{3}=\frac{1}{3}S_{1}+\frac{3}{8}S_{2}\\  \frac{9}{14}S_{3}=\frac{2}{3}S_{1}+\frac{5}{8}S_{2} \end{cases}
Można oczywiście podłożyć jeszcze (5a) po lewej stronie, ale i tak chcę rozwiązać metodą przeciwnych współczynników względem lewej strony, więc to bez znaczenia.
Pierwszą linijkę układu mnożę obustronnie razy -\frac{9}{5} i dodaję stronami:
0 = -\frac{3}{5}S_{1} + \frac{2}{3}S_{1} - \frac{27}{40}S_{2} + \frac{5}{8}S_{2}
Finiszujemy:
\frac{27 -25}{40}S_{2} = \frac{10-9}{15}S_{1}
\frac{1}{20}S_{2} = \frac{1}{15}S_{1}
i końcowe rozwiązanie:
\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{3}{4}
-------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------
ZADANIE II.3

Oznaczmy jako u_n = \alpha^n
Wówczas
Podstawiamy do wzoru rekurencyjnego:
\alpha^{n+1} = 2\alpha^{n} + 7
oraz tworzymy analogiczny wzór o jeden krok wcześniejszy
\alpha^{n} = 2\alpha^{n-1} + 7
Drugi mnożymy obustronnie przez (-1) i dodajemy stronami do siebie:
\alpha^{n+1} - \alpha^{n} = 2\alpha^{n} - 2\alpha^{n-1} + 7 - 7
\alpha^{n+1} - 3\alpha^{n} + 2\alpha^{n-1} = 0
Dzielimy obustronnie przez \alpha^{n-1} i otrzymujemy równanie kwadratowe: \alpha^{2} - 3\alpha + 2 = 0
Mam nadzieje że szanowne Jury wierzy mi na słowo, iż potrafię rozwiązać równanie kwadratowe: \alpha_{1}=1 ; \alpha_{2}=2
Ponieważ we wzorze rekurencyjnym nie mamy uwikłanego n, zatem wzór ciągu wygląda tak: u_n = a\alpha^n + b
Wiemy że: u_1 = 1 oraz u_2 = 9 ; Podstawienie \alpha = 1 doprowadza do sprzeczności (1=a+b ; 9=a+b) i odrzucamy to rozwiązanie.
Rozpatrujemy \alpha = 2 -> u_n = a2^n + b Stąd: 1 = 2a + b oraz 9 = 4a + b. Rozwiązaniem tego prostego układu równań jest a=4 i b=-7
Czyli wzór ciągu wygląda tak: u_n = 2^{n+2} - 7

Druga część zadania to Wyznacz największą liczbę naturalną n, dla której zachodzi nierówność: u_n <9001
2^{n+2} - 7 < 9001  \Leftrightarrow 2^{n+2} < 9008  \Leftrightarrow n+2 < \log_2{9008}  \Leftrightarrow n+2 < 13,137 (w przybliżeniu)
tak więc największą liczbą naturalną spełniającą tę nierówność jest n=11
-------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------
ZADANIE II.4
Niech \left| X \right| oznacza liczność zbioru X
Dla wszystkich 3 podpunktów \left| \omega \right|={31}^{25}

Zad. 4.1
Mój tok rozumowania:
wypisuję elementy wartości funkcji w kolejności rosnącej, a pod spodem już czekają argumenty (również rosnąco) na przypisanie im wartości.
Y : 1-2-3-4-5-6-7-...-29-30-31
---------------------------------------------------------------------------
X : 1-2-3-4-5-6-7-...-23-24-25

Ponieważ w zbiorze Y jest 31 elementów to 6 trzeba wykreślić, pozostałe przypisać zgodnie z uszeregowaniem rosnącym. Czyli trzeba wybrać 6 z 31 do wykreślenia. Można to zrobić na {31 \choose 6} sposobów.
Czyli \left| A \right|={31 \choose 6}
P(A) =  \frac{\left| A \right|}{\left| \omega \right|}

Zad. 4.2
Nie ma ograniczenia co do monotoniczności, okresowości, etc.
Dla jednego z argumentów, wartość MUSI wynosić 10. Tak więc istnieje przynajmniej 1 para (x_i ,10) dla i=1,2,3,...,25
Ilość takich przypadków policzymy z dopełnienia. Ilość przypadków w których maksymalna wartość może wynosić 9 obliczymy z wariacji z powtórzeniami: 9^{25}. A ilość par w których maksimum wartości może wynieść 10 to: {10}^{25}.
Zatem interesująca nas wartość to: \left| B \right|={10}^{25} - 9^{25}
P(B) =  \frac{\left| B \right|}{\left| \omega \right|}

Zad. 4.3
Najpierw trzeba wybrać dwie wartości spośród 31 czyli {31 \choose 2} takich par. Dla każdej pary wartości możliwych ich przypisań do argumentów jest 2^{25}, ale trzeba odjąć 2 przypadki funkcji stałych.
\left| C \right|={31 \choose 2} \cdot (2^{25} - 2) = 930 \cdot (2^{24} - 1)
P(C) =  \frac{\left| C \right|}{\left| \omega \right|}
-------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------
ZADANIE II.5
Skoro f(x) + 4f(1/x) = 3x to f(1/x) + 4f(x) = 3/x:
\begin{cases} f(x) + 4f( \frac{1}{x}) = 3x  \\ f(\frac{1}{x}) + 4f(x) = \frac{3}{x}\end{cases}

Drugie równanie mnożymy raz (-4) i dodajemy stronami. Otrzymujemy:

f(x) + 4f( \frac{1}{x}) - 4f(\frac{1}{x}) - 16f(x) = 3x - \frac{12}{x}
czyli:
-15f(x) = \frac{3x^2 - 12}{x}
Zatem ostatecznie:
f(x) = \frac{4 - x^2}{5x}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 lip 2009, o 01:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Oceny:

Zadanie 1 - 0
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 2
Zadanie 4 - 6
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Zadanie 1: Z tego rozumowania nic nie wynika.

Zadanie 3: Zbyt zawiłe rozumowanie. Najpierw zakładasz: u_n=\alpha^n, kilka linijek niżej: u_n=a\alpha^n +b. Rozumiem, że chciałeś rozwiązać rekurencję (powstałą przez odjęcie stronami dwóch równań) układając równanie charakterystyczne, ale bardzo nieprecyzyjnie to zapisałeś.

Zadanie 4: Bardzo ładnie opisane.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2009, o 19:09 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
Przychylam się do zaproponowanych ocen i komentarzy.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kategoria I, 4 lipca 2009, 17:37  Liga  2
 Kategoria II, 4 lipca 2009, 11:01  Liga  3
 kategoria I - nobuddy 29 stycznia 2011, 19:22  Liga  1
 Kategoria II, 10 lipca 2009, 18:51  Liga  2
 Kategoria I, 10 lipca 2009, 21:27  Liga  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl