szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lip 2009, o 23:42 
Gość Specjalny

Posty: 168
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
Zad 1
Załóżmy przeciwnie, że żadna z danych liczb nie jest pierwsza. Ma wtedy ona co najmniej 2 pierwsze dzielniki (niekoniecznie różne). Wiemy, że wszystkie 15 liczb jest względnie pierwszych, a zatem żadne dwie nie mają takiego samego dzielnika, więc skoro mamy 15 liczb, większych niż 1, to co najmniej jedna ma dzielniki pierwsze większe lub równe 15-tej liczbie pierwszej, czyli 47, a więc sama będzie większa lub równa 47^2=2209>2009. Doszliśmy do sprzeczności z założeniami zadania, a zatem założenie, że żadna z danych liczb nie jest pierwsza było błędne. Co najmniej jedna z danych liczb musi być zatem pierwsza.
c.b.d.u.
Zad 2
Przez F oznaczmy taki punkt należący do odcinka BC, że odcinek DF jest równoległy do odcinka EA, a przez G oznaczmy punkt będący przecięciem się odcinków CD i EA. Z tw. Talesa \frac{BF}{BE}=\frac{BD}{DA}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{BE}{2}=BF=FE=EC. Dalej używając tw. Talesa twierdzę, że \frac{EG}{FD}=\frac{CE}{CF}=\frac{1}{2} \ \frac{FD}{EA}=\frac{BD}{BA}=\frac{1}{2}  \Rightarrow \frac{EG}{EA}=\frac{1}{4}. Oznaczmy sobie długość odcinka EG jako b. Wtedy GA=3b. Z równości \sphericalangle CDA= \sphericalangle EAD, wnioskuję, że trójkąt ADG jest równoramienny i GD=GA=3b. Przez H oznaczmy taki punkt należący do prostej AB, taki, że CD=CH. Wtedy \sphericalangle CHD= \sphericalangle CDH= \sphericalangle EAD, a więc proste EA i CH są równoległe. Z tw. Talesa \frac{EA}{CH}=\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}  \Rightarrow CH=\frac{3}{2}\cdot EA=\frac{3}{2}\cdot 4b=6b. Trójkąt CDH jest równoramienny, a zatem CD=CH=6b. Z tego wynika, że DG=GC=GA=3b, a zatem w trójkącie ACD środkowa opuszczona z wierzchołka kąta jest równa połowie boku, na który została opuszczona co jest własnością trójkąta prostokątnego z kątem prostym przy wierzchołku, z którego dana środkowa została opuszczona. A zatem \sphericalangle BAC=90^{o}.
Zad 3
(a+b)(a+c)=a^{2}+ab+ac+bc=a(a+b+c)+bc. Z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną wnioskuję, że \frac{a(a+b+c)+bc}{2} \ge \sqrt{a(a+b+c)bc} \Rightarrow (a+b)(a+c)=2\cdot \frac{a(a+b+c)+bc}{2} \ge 2\sqrt{abc(a+b+c)}
c.b.d.u.
Zad 4
Przedstawmy daną sumę jako sumę składników od x+1 aż do x+2000.
(x+1)+(x+2)+...+(x+2000)=(1+2+...+(x-1)+x+(x+1)+... =(x+2000))-(1+2+...+(x-1)+x)=\frac{(x+2000)(x+2001)}{2}-\frac{x(x+1)}{2}=\frac{x^{2}+4001x+2000\cdot 2001-x^{2}-x}{2}=\frac{4000x+2000\cdot 2001}{2}=1000 \cdot (2x+2001)
Zauważmy, że 2 nie dzieli wyrażenia 2x+2001, 2^{3} dzieli 1000, a 2^{4} nie dzieli 1000, a więc w rozkładzie danej sumy na czynniki pierwsze 2 występuje w potędze nieparzystej, a więc dana suma nie może być kwadratem liczby naturalnej.
c.b.d.u.
Zad 5.
Zauważmy, że jeżeli (x; y) jest rozwiązaniem danego układu, to także (x; -y) jest jego rozwiązaniem. Zatem jeżeli dla danego k, układ ma mieć 3 rozwiązania, to musi mieć rozwiązanie postaci (x; 0), bo inaczej miałby parzystą liczbę rozwiązań. Układ przyjmuje zatem postać:
\begin{cases} x^{2}=0\\ (x-k)^{2}=1 \end{cases} \Rightarrow  \begin{cases} x=0 \\ (-k)^{2}=1 \end{cases}  \Rightarrow |-k|=1  \Rightarrow k=1  \vee k=-1.
Parametr k może przyjmować zatem 2 wartości, dla których dany układ równań może przyjmować postać
\begin{cases} x^{2}-y^{2}=0\\ (x+1)^{2}+y^{2}=1 \end{cases}
albo
\begin{cases} x^{2}-y^{2} \\ (x-1)^{2}+y^{2}=1 \end{cases}
Rozwiążmy teraz oba układy:
\begin{cases} x^{2}-y^{2}=0 \\ (x+1)^{2}+y^{2}=1 \end{cases}  \Rightarrow  \begin{cases} x^{2}=y^{2} \\ x^{2}+2x+1+x^{2}=1 \end{cases}  \Rightarrow  \begin{cases} x^{2}=y^{2} \\ 2x(x+1)=0 \end{cases}  \Rightarrow x=0  \vee x=-1  \Rightarrow 0=x^{2}=y^{2}  \vee 1=x^{2}=y^{2}
i otrzymujemy 3 pary rozwiązań (0; 0); (-1; 1); (-1; -1).
Rozwiązując analogicznie drugi układ dochodzimy do postaci:
\begin{cases} x^{2}=y^{2} \\ 2x(x-1)=0 \end{cases} z czego analogicznie otrzymujemy 3 pary rozwiązań (0; 0); (1; -1); (1; 1)
Zatem dla parametu k równego 1 lub -1 otrzymujemy w obu przypadkach po 3 rozwiązania, a dla innych wartości parametru k układ posiada parzystą liczbę rozwiązań, a więc inną niż 3.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 lip 2009, o 01:15 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Oceny:

Zadanie 1. - 6
Zadanie 2. - 5
Zadanie 3. - 6
Zadanie 4. - 6
Zadanie 5. - 6

--

Komentarze:

Zadanie 2.:
Cytuj:
Przez H oznaczmy taki punkt należący do prostej AB, taki, że CD=CH. Wtedy \sphericalangle CHD= \sphericalangle CDH= \sphericalangle EAD, a więc proste EA i CH są równoległe.
Zakładasz bez dowodu, że \sphericalangle EAD jest kątem ostrym. Masz pecha, bo akurat u mnie na rysunku pomocniczym jest rozwarty i wówczas zachodziłoby: \sphericalangle CHD= \sphericalangle CDH= 180^o - \sphericalangle EAD. Wiem, że fakt, że ten kąt jest ostry, wynika z równoramienności trójkąta \Delta ADG, ale to trzeba napisać.

Cytuj:
a zatem w trójkącie ACD środkowa opuszczona z wierzchołka kąta jest równa połowie boku
z wierzchołka kąta \sphericalangle CAD, nie zapominaj o dokładnym opisywaniu sytuacji ;)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2009, o 20:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6392
Lokalizacja: Warszawa
OK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47  Liga  5
 Kategoria II, 6 lipca 2009, 19:50  Liga  2
 kategoria I - JaQb 6 lutego 2011, 13:18  Liga  1
 Kategoria II, 5 lipca 2009, 20:13  Liga  2
 Kategoria II, 7 lipca 2009, 20:51  Liga  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl