szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lip 2009, o 23:37 
Gość Specjalny

Posty: 168
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
Ad. 3.
Zróbmy podstawienie :
x=bc
y= a(a+b+c)
x,y\in R_{+}
Zauważmy, że lewa strona po pomnożeniu ma postać L=(a+b)(a+c)=a ^{2}+ab+ac+bc=a(a+b+c)+bc=x+y
Korzystając z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną: L=a(a+b+c)+bc=x+y \ge 2 \sqrt{xy}=2 \sqrt{bc \cdot a(a+b+c)}=2 \sqrt{abc(a+b+c)}=P

c.b.d.o.

Ad. 4.
Załóżmy, że takie 2000 liczb istnieje. Oznaczmy je przez k, k+1, k+2, ..., k+1999
k \in C
Suma tych liczb to S=k+k+1+k+2+...+k+1999=1000(k+k+1999)=2 ^{3} \cdot 5 ^{3}(2k+1999)
W rozkładzie na czynniki pierwsze kwadratu liczby całkowitej każda liczba pierwsza występuje w potędze o parzystym wykładniku. Stąd wynika, że liczba 2k+1999=2(k+999)+1 musi być podzielna przez 2. Jest to niemożliwe, ponieważ wyrażenie w nawiasie jest całkowite- otrzymujemy sprzeczność. Nie istnieje zatem 2000 kolejnych liczb całkowitych, których suma jest kwadratem liczby całkowitej.

c.n.d.

Ad. 5.
\begin{cases}x ^{2}=y ^{2}  \\ (x-k) ^{2}+y ^{2}=1  \end{cases}

\begin{cases}x ^{2}=y ^{2}  \\ (x-k) ^{2}+y ^{2}=1  \end{cases} \Rightarrow  \begin{cases} 2x ^{2}-2kx+k ^{2}-1=0  \\ x ^{2}=y ^{2}\end{cases}
Rozpatrzmy równanie kwadratowe:2x ^{2}-2kx+k ^{2}-1=0

\Delta=4k ^{2}-8(k ^{2}-1)=8-4k ^{2}=4(2-k ^{2})

x _{1}= \frac{2k-2 \sqrt{2-k ^{2}} }{4}= \frac{k- \sqrt{2-k ^{2} } }{2}

x _{2}= \frac{k+ \sqrt{2-k ^{2} } }{2}

Aby układ równań posiadał dokładnie 3 pary rozwiązań jedno z rozwiązań powyższego równania kwadratowego musi być równe 0, a jednocześnie drugie musi być różne od zera.

1. x_{1}= 0 \Rightarrow \frac{k- \sqrt{2-k ^{2} } }{2}=0 \Rightarrow k=  \sqrt{2-k ^{2} } \Rightarrow k ^{2}=2-k ^{2} \Rightarrow k=1 ponieważ k \ge 0

2. x _{2}=0 \Rightarrow \frac{k+ \sqrt{2-k ^{2} } }{2}=0 \Rightarrow -k= \sqrt{2-k ^{2}} \Rightarrow k ^{2}=2-k ^{2} \Rightarrow k=-1, ponieważ k<0

Na koniec należy sprawdzić, czy dla takich wartości parametru k rozwiązaniem układu rzeczywiście są trzy pary liczb.
1. k=1
\begin{cases}x ^{2}=y ^{2}  \\ (x-1) ^{2}+x ^{2}=1\end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}2x(x-1)+1=1 \\ x ^{2}=y ^{2}\end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}x ^{2}=y ^{2}\\2x(x-1)=0 \end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}x=0\\y=0\end{cases} \vee  \begin{cases}x=1\\ y=1 \end{cases}\vee \begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}

2.k=-1
\begin{cases}(x+1) ^{2}+x ^{2}=1\\x ^{2}=y ^{2}\end{cases} \Rightarrow  \begin{cases} 2x(x+1)+1=1\\x ^{2}=y ^{2}\end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}x ^{2}=y ^{2}\\ 2x(x+1)=0\end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}x=0\\y=0\end{cases} \vee  \begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases} \vee  \begin{cases}x=-1\\y=-1 \end{cases}
Odpowiedź: Podany układ ma trzy pary rozwiązań, gdy k \in \{\ -1, 1\}\.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 lip 2009, o 00:38 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Oceny:

Zadanie 1. - brak
Zadanie 2. - brak
Zadanie 3. - 6
Zadanie 4. - 6
Zadanie 5. - 6

--

Komentarze:

Zadanie 5. - siłowe i bardzo brzydkie rozwiązanie, niemniej poprawnie. Pamiętaj o szczegółach (podlega to pod mało istotne usterki) typu wyznaczenie dziedziny, gdy używasz w równaniu czegoś typu: \sqrt{2-k^2}.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2009, o 20:27 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6392
Lokalizacja: Warszawa
jak dla mnie OK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kategoria II, 4 lipca 2009, 20:37  Liga  2
 Kategoria I, 7 lipca 2009, 09:19  Liga  3
 kategoria I - KPR 6 lutego 2011, 15:39  Liga  1
 Kategoria III, 4 lipca 2009, 23:55  Liga  3
 Kategoria II, 10 lipca 2009, 20:17  Liga  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl