szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lip 2009, o 23:37 
Gość Specjalny

Posty: 168
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
zad. 1. - co nie co
musi być spełniony warunek xy-(xy)^2 \ge 0 skąd wynika, że 1 \ge xy \ge 0. (łatwo zauwazyc ze nie moze byc xy=0) ponadto \sqrt{xy-(xy)^2}  \le  \frac{1}{2}. zauważmy teraz, że:
\frac{1}{2} \ge  \sqrt{xy-(xy)^2}=y^6+y^2+2x^2
i
4xy^3+y^3+ \frac{1}{2} \ge 2x^2+ \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge  2x^2+1
dodając powyzsze nierówności stronami dostajemy
4xy^3  \ge    y^6+4x^2
ale stosujac nierownosc miedzy srednia arytmetyczna a geometryczna mamy
y^6+4x^2 \ge 4|xy^3|=4xy^3
wobec tego musi zachodzic rownosc 2|x|=|y^3| ktora wobec xy > 0 daje nam x= \frac{y^3}{2}. podstawiajac te zaleznosc do danych w tresci zadania: rownosci i nierownosci, po banalnych przeksztalceniach dostaniemy:
(y+1)(9y^7-9y^6+9y^5+3y^4-2y^3+2y^2+2y-2)=9y^8+12y^5+y^4+4y^2-2=0
oraz
y^3(9y^9+12y^6+9y^3+2y+4) \ge 0
jesli y=-1 to x= -\frac{1}{2}-ta para nie spelnia danego ukladu. załóżmy wiec ze istnieje liczba y \neq -1 dla ktorej istnieje x takie ze para (x,y) spelnia ten uklad.
wtedy
0 \le y^3(9y^9+12y^6+9y^3+2y+4)=y^3( y(9y^8+12y^5+y^4+4y^2-2)-y^5+5y^3+4)= y^3(-y^5+5y^3+4)
1 \ge xy= \frac{y^4}{2} wiec y\in <- \sqrt{2};  \sqrt{2}>. w tym przedziale funkcja f(y)=-y^5+5y^3+4 jest rosnaca i tu pomysłów brak...

zad. 2.
wezmy jedna jednostke pierwszego stopu i n jednostek drugiego stopu. w pierwszej probce mamy \frac{1}{3} jednostek miedzi i \frac{2}{3} jednostek cyny. w drugiej probce mamy \frac{3}{8} jednostek miedzi i \frac{5}{8} jednostek cyny.
aby spelniona byla postulowana zaleznosc musi zachodzic rownosc
\frac{ \frac{1}{3}+ \frac{3}{8}n  }{ \frac{2}{3}+ \frac{5}{8}n  }= \frac{5}{9}. po elementarnych przeksztalceniach dostaniemy n= \frac{4}{3} wiec stopy nalezy wziac w stosunku 3:4

zad. 3.
u_1=1
u_2=5
u_3=25
u_4=57
u_5=121
u_6=249
u_7=505
u_8=1017
u_9=2041
u_10=4089
u_11=8185
u_12=16377
ciag jest rosnacy wiec szukana wartość n=11

zad. 4.
a)
funkcja rosnaca jest roznowartosciowa, wiec 25 roznych wartosci ktore ona przyjmuje jednoznacznie ja wyznacza. wobec tego szukane prawdopodobienstwo wynosi \frac{ {31 \choose 25} }{31^{25}}= \frac{23751}{31^{24}}
b)
istnieje {25 \choose k}9^{25-k} funkcji ktore maksimum =10 przyjmuja dla k argumentow.
korzystajac ze wzoru dwumianowego Newtona otrzymujemy \sum_{k=1}^{25} {25 \choose k}9^{25-k}=9^{25}(\sum_{k=0}^{25} {25 \choose k}9^{-k}-1)=9^{25}(( \frac{1}{9}+1)^{25}-1)=10^{25}-9^{25}
tak wiec
P= \frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}
c)
dwie wartosci mozna wybrac na {31 \choose 2}=465 sposobow. funkcja jest jednoznacznie wyznaczona przez wstazanie argumentow dla ktorych przyjmuje ona mniejsza wartosc (z tych dwoch), co mozna zrobic na \sum_{k=1}^{24} {25 \choose k} =2^{25}-2 sposoby. wobec tego
P= \frac{465(2^{25}-2)}{31^{25}}
zad. 5.
f( \frac{1}{x})+4f(x)= \frac{3}{x}
wstawiajac x:= \frac{1}{x} dostajemy f(x)+4f( \frac{1}{x})=3x. mnozac stronami pierwsza rownosc przez 4 i odejmujac od niej druga rownosc dostajemy f(x)= \frac{4}{5x}- \frac{x}{5}. łatwo sprawdzic ze funkac ta spelnia warunki zadania.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 lip 2009, o 13:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Oceny:

Zadanie 1 - 2
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 2
Zadanie 4 - 6
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Zadanie 1: Nierówności typu: \sqrt{t-t^2} \le \frac{1}{2} należy uzasadnić. Należało zauważyć, że równości zachodzą we wszystkich trzech dowiedzionych przez Ciebie nierównościach, co praktycznie zakończyłoby zadanie. Dwójka za dobre szacowanie nierównościami, można to uznać za pół zadania. Niestety łatwiejsze pół nie dostało szansy powodzenia. P.S. Para (x,y)=(-\frac{1}{2},-1) spełnia ten układ.

Zadanie 3: Błąd rachunkowy przy wyliczaniu u_2, ale potem poprawiony. Skoro już robisz siłowo, postaraj się o dokładność. Powinieneś więc udowodnić, że rzeczywiście jest to ciąg rosnący - a nie tylko stwierdzić fakt. Jest to rzecz banalna do zauważenia, ale dość istotna jeśli chodzi o poprawne dojście do wyniku. Nie zapominaj, że komisje na olimpiadach i konkursach bardzo lubią się czepiać brutalnych rozwiązań ;)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 lip 2009, o 20:11 
Gość Specjalny

Posty: 8602
Lokalizacja: Kraków
Nie chce się za bardzo wtrącać w kompetencje sprawdzających, ale co do zadania 3 to wydaje mi się, że skoro ktoś już rozwiązuje to zadanie siłowo, to mógłby się postarać i udowodnić, że rzeczywiście jest to ciąg rosnący - a nie tylko stwierdzić fakt. Być może jest to rzecz banalna do zauważenia, ale dość istotna jeśli chodzi o poprawne dojście do wyniku. Dlatego proponuję w tym przypadku 2pkt. za to zadanie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2009, o 01:28 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
OK, zgadzam się. Niech weryfikujący napiszą, jeśli gdzieś jeszcze popełniłem taki błąd.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2009, o 18:51 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
Zgadzam się z zaproponowanymi ocenami zadań 2-5.
Jeśli chodzi o zadanie 1. to należy zwrócić uwagę na fragmenty:

Cytuj:
ponadto \sqrt{xy-(xy)^2}  \le  \frac{1}{2}. (...)

jesli y=-1 to x= -\frac{1}{2}-ta para nie spelnia danego ukladu. (...)

i tu pomysłów brak...


W pierwszym brak wnioskowania prowadzącego do otrzymanej nierówności, w drugim - wyraźna pomyłka (choć być może jest ona wynikiem nieuwagi), wreszcie w trzecim - zasadnicza uwaga: dowód faktu, że nie istnieje inna para liczb (x,y) będąca rozwiązaniem układu, jest niedokończony.

Pozostaje zatem tylko uznać zadanie za niezaliczone.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2009, o 21:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Zadanie 1 - Proponowałbym jednak zostać przy dwójce. Oczywiście duża nieuwaga i zbytnie uznawanie faktów za "oczywiste". Niemniej dojście do równości: x=\frac{y^3}{2} znacznie upraszcza zadanie i chyba można je uznać za połowę. Na pewno ocena za zadanie 3 pokaże tej osobie, że trzeba być uważnym i rozpisywać swoje kroki.

Zadanie 3 - Niech będzie dwójka. Być może to surowa ocena, ale za nawet niewielkie pomyłki w "przeliczaniu" analitycznym geometrii na OM punkty są obcinane praktycznie do 0, więc...

OK?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kategoria II, 7 lipca 2009, 20:51  Liga  2
 Kategoria II, 5 lipca 2009, 20:13  Liga  2
 Kategoria I, 7 lipca 2009, 09:19  Liga  3
 Kategoria II, 4 lipca 2009, 20:37  Liga  2
 Kategoria III, 4 lipca 2009, 23:55  Liga  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl