szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lip 2009, o 23:36 
Gość Specjalny

Posty: 168
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
Zad. 2.
Oznaczmy przez x ilość pierwszego stopu, a przez y ilość drugiego stopu, którego trzeba wziąć, aby otrzymać stop, w którym stosunek miedzi do cynku wynosi 5:9.

W pierwszym stopie:
- stosunek ilościowy miedzi do cynku wynosi 1:2,
* ilość miedzi dostarczonej do trzeciego stopu wynosi \frac{1}{3}x,
* ilość cynku dostarczonego do trzeciego stopu wynosi \frac{2}{3}x.

W drugim stopie:
- stosunek ilościowy miedzi do cynku wynosi 3:5,
* ilość miedzi dostarczonej do trzeciego stopu \frac{3}{8}y,
* ilość cynku dostarczonego do trzeciego stopu \frac{5}{8}y.

A z tego wynika, że w trzecim stopie:
* ilość miedzi jest równa \frac{1}{3}x + \frac{3}{8}y,
* ilość cynku jest równa \frac{2}{3}x + \frac{5}{8}y,
- a wiemy, że stosunek ilościowy miedzi do cynku jest równy 5:9,

Zatem:
\frac{\frac{1}{3}x + \frac{3}{8}y}{\frac{2}{3}x + \frac{5}{8}y}=\frac{5}{9}  \Leftrightarrow 3x + \frac{27}{8}y= \frac{10}{3}x+ \frac{25}{8}y  \Leftrightarrow   \frac{y}{4}= \frac{x}{3}  \Leftrightarrow \frac{x}{y}=\frac{3}{4}

odp. Stosunek ilościowy pierwszego stopu do drugiego wynosi 3:4.




Zad. 3.

Spróbujmy wyznaczyć wzór jawny tego ciągu.
u_{n}=2 \cdot u_{n-1}+7= \\ \ =2 \cdot (2u_{n-2}+7)+7 = 2^{2} \cdot u_{n-2}+(2+1)\cdot7= \\ \ =
2^{2} \cdot (2u_{n-3}+7)+(2+1)\cdot7=2^{3} \cdot u_{n-3}+(2^{2}+2^{1}+2^{0})\cdot7=...= \\ \ =
2^{n-1} \cdot u_{1}+(2^{n-2}+...+2^{2}+2^{1}+2^{0})\cdot7= \\ =
2^{n-1} \cdot u_{1}+(2^{n-1}-1)\cdot7=2^{n-1}(u_{1}+7)-7=...

Wiedząc, że u_{1}=1, otrzymujemy:

...=2^{n-1} \cdot 8 -7 = 4 \cdot 2^{n}-7

\begin{tabular}{|c|c|} \hline \\ \ \ \ u_{n}=4 \cdot 2^{n}-7 \ \ \ \\ \\ \hline \end{tabular},

A nasze szukane n ma spełniać warunki:
\begin{cases} u_{n}<9001\\ u_{n+1} \ge 9001 \end{cases}   \Leftrightarrow   \begin{cases} n \in \mathbb{N}\\ 4 \cdot 2^{n}-7 <9001  \le 4 \cdot 2^{n+1}-7 \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} n \in \mathbb{N} \\ 2^{n}<2252 \le 2^{n+1}  \end{cases}  \Leftrightarrow \\  \Leftrightarrow \begin{cases} n \in \mathbb{N}\\ n< \log_{2} 2252  \le  n+1 \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} n \in \mathbb{N}\\ n< \log_{2} (2^{11} \cdot \frac{2252}{2048})  \le  n+1 \end{cases} \\ \hbox{Zatem:} \\ n=11<11+\log_{2} \frac{2252}{2048}<11+\log_{2} \frac{4096}{2048}=12=n+1

odp. Szukaną liczbą jest n=11.



Zad. 4.
Jasne jest, że ilość możliwych funkcji jest wariacją 31-elementową z powtórzeniami zbioru 25-elementowego \overline{\overline{\Omega}}=25^{31}

a.
Zauważmy, aby znaleźć ilość funkcji, które są ściśle rosnące, musimy znaleźć liczbę wszystkich możliwych zbiorów 25-elementowych o niepowtarzających się cyfrach ze zbioru 31-elementowego. Dlaczego to pierwsze jest równoważne z tym drugim? Dzieje się tak, ponieważ w danym zbiorze tylko jedno ułożenie elementów jest rosnące.
A zatem ilość wszystkich kombinacji jest równa:
\overline{\overline{A}}={31\choose 25}
A wtedy prawdopodobieństwo jest równe:
P(A)=\frac{{31\choose 25}}{25^{31}} \approx 3,3955 \cdot 10^{-38}

b. W zbiorze wartości funkcji musi występować 10 i mogą być także liczby mniejsze od 9.
Zatem wszystkich możliwych funkcji, których zbiorem wartości są liczby mniejsze bądź rowne 10 jest 25^{10}, ale musimy jeszcze odjąć wszystkie funkcje, których zbiorem wartości są liczby mniejsze od 10, a jest ich 25^{9}
A zatem prawdopodobieństwo jest równe:
P(B)=\frac{25^{10}-25^{9}}{25^{31}} \approx 4.2221 \cdot 10^{-30}

c. Wszystkich możliwych zbiorów dwuelementowych ze zbioru 31-elementowego jest równa {31 \choose 2}. Natomiast dla danego zbioru wartości dwulementowego wszystkich możliwych funkcji jest 2^{25}, stąd:
P(C)=\frac{{31 \choose 2} \cdot 2^{25}}{25^{31}}=7.1955 \cdot 10^{-34}



Zad. 5.

Załóżmy, że funkcja f spełnia dla wszystkich x \neq 0 podane równanie funkcyjne. Podstawmy x:=\frac{1}{x}.
Otrzymujemy taki układ równań:
\begin{cases} f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x \\ f(\frac{1}{x})+4f(x)=\frac{3}{x} \end{cases}  \Leftrightarrow  \begin{cases} f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x \\ 4f(\frac{1}{x})+16f(x)=\frac{12}{x} \end{cases}  \Rightarrow 15f(x)=\frac{12}{x}-3x  \Leftrightarrow f(x)=\frac{4-x^{2}}{5x}

Zatem funkcja f jest powyższej postaci. Po sprawdzeniu widać, że funkcja ta spełnia wyjściowe równanie funkcyjne. Jest to więc jedyna funkcja spełniająca dla każdych x \neq 0 równanie funkcyjne.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 lip 2009, o 10:43 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
Oceny:
zadanie 1.: 0
zadanie 2.: 6
zadanie 3.: 5
zadanie 4.: 0
zadanie 5.: 6

Zadanie 3.

Cytuj:
Spróbujmy wyznaczyć wzór jawny tego ciągu.
u_{n}=2 \cdot u_{n-1}+7= \\ \ =2 \cdot (2u_{n-2}+7)+7 = 2^{2} \cdot u_{n-2}+(2+1)\cdot7= \\ \ =
2^{2} \cdot (2u_{n-3}+7)+(2+1)\cdot7=2^{3} \cdot u_{n-3}+(2^{2}+2^{1}+2^{0})\cdot7=...= \\ \ =
2^{n-1} \cdot u_{1}+(2^{n-2}+...+2^{2}+2^{1}+2^{0})\cdot7= \\ =
2^{n-1} \cdot u_{1}+(2^{n-1}-1)\cdot7=2^{n-1}(u_{1}+7)-7=...

Wiedząc, że u_{1}=1, otrzymujemy:

...=2^{n-1} \cdot 8 -7 = 4 \cdot 2^{n}-7


Sposób wyznaczania wzoru ciągu (u_n)_{n\in\mathbb{N}} nie jest dopuszczalny. Dla n=2 ciąg równości należy przerwać po wyznaczeniu u_{n-1}=u_1, dla n=3 - po dwóch krokach itd.

Zadanie 4.

Błędnie wyznaczona liczność wszystkich zdarzeń elementarnych. Poza tym

Cytuj:
c. Wszystkich możliwych zbiorów dwuelementowych ze zbioru 31-elementowego jest równa {31 \choose 2}. Natomiast dla danego zbioru wartości dwulementowego wszystkich możliwych funkcji jest 2^{25}, stąd:
P(C)=\frac{{31 \choose 2} \cdot 2^{25}}{25^{31}}=7.1955 \cdot 10^{-34}


Przy wyznaczaniu ilości zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu rozważanego zdarzenia należy uwzględnić, że funkcja f nie może być stała.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 lip 2009, o 14:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Nie zgadzam się z:

Zadanie 3 - proponuję 6, a mianowicie został rozważony ogólny przypadek. Kroki rozumowania zostały dość dokładnie rozpisane i widać, że użytkownik wie, że w takich małych przypadkach należałoby szybciej zakończyć.

OK?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kategoria I, 4 lipca 2009, 17:37  Liga  2
 Kategoria II, 4 lipca 2009, 11:01  Liga  3
 kategoria I - nobuddy 29 stycznia 2011, 19:22  Liga  1
 Kategoria II, 10 lipca 2009, 18:51  Liga  2
 Kategoria I, 10 lipca 2009, 21:27  Liga  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl