szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lip 2009, o 23:36 
Gość Specjalny

Posty: 168
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
Zadanie 1 - brak
Zadanie 2.
Oznaczmy przez x wagę stopu pierwszego, a przez y wagę stopu drugiego
(tzn ilość, jaką trzeba wziąć do końcowego stopu; interesuje nas oczywiście stosunek x do y)
Z treści zadania otrzymujemy, że w pierwszym stopie jest \frac{1}{3}x miedzi i \frac{2}{3}x cynku. W drugim stopie mamy \frac{3}{8}y miedzi i \frac{5}{8}y cynku. Wiemy, że w końcowym stopie stosunek miedzi do cynku wynosi 5:9. Sumując odpowiednio miedź i cynk z obydwu stopów, a następnie przyrównując ich stosunek do zadanego otrzymujemy:
\frac{ \frac{1}{3}x+ \frac{3}{8}y }{ \frac{2}{3}x+ \frac{5}{8}y} = \frac{5}{9} .
Przekształcając równoważnie otrzymamy:
\frac{x}{y} = \frac{3}{4}
Zatem te dwa stopy należy wziąć w stosunku 3:4. Bezpośrednie sprawdzenie przekonuje nas o poprawności uzyskanego wyniku.

Zadanie 3.
Rozważmy ciąg b_{n}: b_{1}=2, \ b_{n+1}=2 \cdot b_{n} Zauważmy, że nasz dany ciąg u_{n} rośnie szybciej niż ciąg b_{n}. Jednak wzór ogólny ciągu b_{n} to b_{n}=2^{n}. Rozwiązując nierówność
2^{n}<9001 (*)
otrzymujemy, że b_{13}=8192 jest ostatnim wyraz tego ciągu, spełniającym nierówność (*). Z powyższych obserwacji wynika, że największe n takie, że u_{n}<9001 jest nie większe od 13. Sprawdzając ręcznie przekonujemy się, że u_{11}=8185 jest największym wyrazem ciągu spełniającym warunki zadania.
Zatem szukaną wartością jest n=11.

Zadanie 4.
Zacznijmy od zbioru \Omega. Każdemu z dwudziestu pięciu argumentów musi być przyporządkowana jedna z trzydziestu jeden wartości. Zatem |\Omega|=31^{25}, gdzie |A|oznacza moc zbioru A.
Przejdźmy do poszczególnych podpunktów.
a) Rozpatrywane zdarzenie oznaczmy przez K
Oznaczmy zbiory podane w treści zadania:
X=\{1,2,3,...,25\} , \ Y=\{1,2,...,31\}
Zauważmy, że rozpatrujemy funkcje różnowartościowe.
Istotnie, jeżeli f(a)>f(b) \ dla \ a>b, czyli zachodzi nierówność ostra, to rozpatrywane funkcje to rzeczywiście iniekcje.
Stwierdzamy zatem, że zbiór wartości każdej funkcji spełniającej warunki zadania będzie zbiorem 25 elementów spośród 31 zawartych w zbiorze Y . Wynika z tego, że dokładnie 6 elementów z zbioru Y będzie nieprzyporządkowanych żadnemu argumentowi.
Niech f_{n}: \{1,2,...,25} \mapsto \Y' , gdzie Y' jest 25-elementowym podzbiorem zbioru Y. Zauważmy, że dla dowolnego Y' istnieje dokładnie jedna rosnąca funkcja f_{n}. Jest to prawdą, ponieważ dowolny zbiór, w którym wszystkie elementy są parami różne, można uporządkować rosnąco tylko w jeden możliwy sposób.
Na mocy tych obserwacji stwierdzamy, że poszukiwanych funkcji rosnących będzie tyle, ile 6-elementowych podzbiorów zbioru Y, a więc i tyle, ile 25-elementowych podzbiorów zbioru Y. Te liczby są oczywiście równe i wynoszą:
{31 \choose 6}= {31 \choose 25}=  736281
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia K wynosi:
P(K)= \frac{736281}{31^{25}}= \frac{23751}{31^{24}}
b)
Największą wartością przyjmowaną przez naszą funkcję jest 10. Wartość tę musi przyjąć co najmniej jeden argument. Pozostałe argumenty, a jest ich 24, muszą przyjmować wartości nie większe niż 10 (ale mogą przyjąć wartość 10).
Oznaczmy przez B zbiór zdarzeń sprzyjających,czyli wyboru funkcji, której maksimum wynosi 10. Przejdźmy do obliczenia mocy zbioru B.
Mamy 25 możliwości wyboru argumentu, dla którego funkcja przyjmie maksimum. Pozostałe 24 argumenty mogą przyjmować jedną z 10 wartości. Zatem:
|B|=25 \cdot 24 \cdot 10=6000
Wtedy:
P(B)= \frac{6000}{31^{25}}
c)
Rozpatrywane zdarzenie oznaczymy przez D
Mamy {31 \choose 2} sposobów wyboru dwóch elementów do zbioru wartości. Rozważmy, ile różnych funkcji możemy otrzymać przez przyporządkowanie jednej z dwóch wartości do poszczególnych argumentów.
Niech a,b będą dwiema rozpatrywanymi wartościami.
Jeżeli w zbiorze wartości naszej funkcji jeden argument przyjmie wartość a, a pozostałe (jest ich oczywiście 24) wartość b, to otrzymamy tyle różnych funkcji, ile argumentów mogących przyjąć wartość a. Jest ich oczywiście {25 \choose 1}.
Jeżeli dwa argumenty przyjmą wartość a, to możliwych funkcji będzie tyle, ile możliwości wyboru dwóch argumentów, które przyjmą wartość a. Jest ich {25 \choose 2}.
Kontynuując nasze rozumowanie otrzymamy, że w sumie liczba funkcji spełniających warunki zadania jest
{25 \choose 1} + {25 \choose 2} +...+ {25 \choose 24}=2^{25}-2 (na mocy wzoru dwumiennego Newtona).
Przechodzimy do obliczania prawdopodobieństwa
P(D)= \frac{2^{25}-2}{31^{25}}

Zadanie 5.
Wychodzimy z podanego w zadaniu równania
f(x)+4f( \frac{1}{x})=3x (*)
Skoro (*) zachodzi dla dowolnego x  \neq 0, więc w miejsce x podstawiamy \frac{1}{x}.
Otrzymujemy
f( \frac{1}{x})+4f(x)= \frac{3}{x} (**).
Łącząc (*) i (**) dostajemy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi. Rozwiązując ten układ otrzymamy f(x)= \frac{4-x^{2}}{5x}.
Bezpośrednio sprawdzamy, że otrzymana funkcja rzeczywiście spełnia podane równanie.
Zatem jedyną funkcją spełniającą warunki zadania jest f(x)= \frac{4-x^{2}}{5x}.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 lip 2009, o 13:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Oceny:

Zadanie 1 - brak
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 6
Zadanie 4 - 2
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Zadanie 3:
Należałoby trochę dokładniej opisać, ale jest poprawnie.

Zadanie 4:
a) Ładnie

b) Po pierwsze jeśli to co napisałeś byłoby prawdziwe, to powinno być: 25 \cdot 10^{24}. Po drugie liczysz kilkukrotnie te same możliwości (np. wybierasz, że f(1)=10, ale skoro wszystkie następne f(n) mogą przyjmować każdą z 10 wartości, to może być np. f(2)=10 - tą samą możliwość liczysz ponownie w sytuacji, gdy wybierasz f(2)=10, itp.)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2009, o 18:59 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
Zgadzam się z ocenami, w zadaniu 3. - choć część rozwiązania jest metodą sprawdzania krok po kroku, to jest ona poparta wcześniejszym wnioskowaniem, które tę drugą część znacznie ogranicza.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kategoria II, 7 lipca 2009, 20:51  Liga  2
 Kategoria II, 5 lipca 2009, 20:13  Liga  2
 Kategoria I, 7 lipca 2009, 09:19  Liga  3
 Kategoria II, 4 lipca 2009, 20:37  Liga  2
 Kategoria III, 4 lipca 2009, 23:55  Liga  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl