szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lip 2009, o 23:30 
Gość Specjalny

Posty: 168
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
zadanie 1
Najpierw zajmiemy się dziedziną: D=\{ (x,y) \in R^{2}: xy-x^{2}y^{2} \ge 0 \wedge 1+(2x-y)^{2} \ge 0} \}. Druga nierówność jest zawsze spełniona zajmiemy się pierwszą. Przekształcamy ją i mamy xy(1-xy) \ge 0, a dalej rozważamy dwa przypadki
(1) xy \le 0 \wedge 1-xy \le 0
(2) xy \ge 0 \wedge 1-xy \ge 0
W przypadku (1) jest sprzeczność czyli dziedzina będzie definiowana tylko przez przypadek (2) który po dalzych przkstałceniach elementarnych da nam taką dziedzinę:
D=\{(x,y) \in R^{2}:xy \in [0,1]\}.
Mhh i na tyle w tym temacie co dalej nie wiem po 1,5 dnia poddaje się:(

zadanie 2
Analizując zadanie widzimy że w dowolnej jednostce (wagi 1kg, 1dg, 1g) stopu pierwszego znajduje się \frac{1}{3} miedzi i \frac{2}{3} cynku a w stopie drugim analogicznie \frac{3}{8} miedzi i \frac{5}{8} cynku. Układamy więc układ równań:
\begin{cases} a( \frac{1}{3}m+ \frac{2}{3} c)+b( \frac{3}{8} m+ \frac{5}{8}c)= \frac{5}{14}m+ \frac{9}{14} c \\ a+b=1 \end{cases} m i c są oznaczeniami zawartości odpowiednio miedzi i cynku. Rozwiązujemy układ przeksztalcając równanie (2) do postaci b=1-a i podstawiając to do równania pierwszego. Po przekształceniach otrzymujemy -\frac{1}{24}am+ \frac{1}{24}ac=- \frac{1}{56}m+ \frac{1}{56}c porównując liczby przy odpowiednich danych otrzymujemy układ
\begin{cases}- \frac{1}{24}a=- \frac{1}{56} \\  \frac{1}{24}a= \frac{1}{56}\end{cases} czyli a= \frac{24}{56} i odpowiednio b= \frac{32}{56} szukany stosunek ilości pierwszego stopu do drugiego stopu to \frac{24}{56} : \frac{32}{56} czyli 3:4 (rozwiązanie było dopasowane dla wartości jednostkowych nic jednk nie stoi na przeszkodzie żeby liczyć to dla dowolnych wartości tzn \begin{cases} a( \frac{1}{3}m+ \frac{2}{3} c)+b( \frac{3}{8} m+ \frac{5}{8}c)= p(\frac{5}{14}m+ \frac{9}{14} c) \\ a+b=p \end{cases} gdzie p też traktujmy jako daną p>0)

zadanie 3
Początkowo wypiszmy kilka pierwszych wartości ciągu 1, 9, 25, 57, 121, 249. Teraz zaczynamy liczyć nasz ciąg rekurencyjny
h(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } u_{n+1}x^{n}=1+ \sum_{n=1}^{ \infty } (2u_{n}+7)x^{n}=1+2 \sum_{n=1}^{ \infty }u_{n}x^{n} +7 \sum_{n=1}^{ \infty }x^{n}=1+2x \sum_{n=1}^{ \infty }u_{n}x^{n-1} +7 x\sum_{n=1}^{ \infty }x^{n-1}=1+2xh(x)+ \frac{7x}{1-x}
tutaj w ostatnim przejściu korzystamy z faktu iż h(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } u_{n+1}x^{n}=\sum_{n=1}^{ \infty }u_{n}x^{n-1} oraz \sum_{n=1}^{ \infty }x^{n-1}= \frac{1}{1-x}
dalej mamy h(x)=1+2xh(x)+ \frac{7x}{1-x} a więc h(x)= \frac{6x+1}{(1-x)(1-2x)} rozkladamy na ułamki proste h(x)= \frac{-7}{1-x}+ \frac{8}{1-2x}=-7 \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n} +8 \sum_{n=0}^{ \infty }(2x)^{n}=  \sum_{n=0}^{ \infty }(-7x^{n}+8(2x)^{n})= \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n}(-7+8*2^{n})
ale oczywiście h(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } u_{n+1}x^{n}=\sum_{n=0}^{ \infty }x^{n}(-7+8*2^{n}) a więc u_{n+1}=(-7+8*2^{n})=2^{n+3}-7 podstawiając odpowiednie n widzimy że istotnie otrzymaliśmy ciąg którego wyrazy wypisaliśmy na początku. teraz pozostało znaleść n dla którego u_{n}<9001. przekstałcamy wyrażenie u_{n+1}=2u_{n}+7 i mamy u_{n}= \frac{u_{n+1}-7}{2} a podstawiając nasz wzór wyliczony przez nas mamy że \frac{2^{n+3}-7-7}{2} <9001 a obliczając to mamy 2^{n}<2252 czyli największe szukane n to n=11

zadanie 4
na początku szybko wyliczamy omege |\Omega|=31^{25}
a) pomysl jest taki aby zastosować zdażenie przeciwne. tutaj będzie to sytuacja gdy funkcja będzie stała lub gdy znajdziemy takie a i b że f(a)<f(b) dla a>b Funkcji sałych jest 31 to trywialne. dalej jest trudniej robię to tak że wybieram 2 liczby z dziedziny i przyporządkowuje im dwie liczby z przeciwdziedziny w taki sposób aby spełnić założenie zdarzenia przeciwnego dalej reszte liczb ustawiam zupelnie dowolnie, niektóre rzeczy będą sie powtarzać i tu jest klopot, każde ustawienie będzie powtorzone tyle razy ile znajdziem w nim takich par że f(a)<f(b) dla a>b ułamek trzeba skrócić o liczbę powtórzeń. Podsumowując
P(A)=1- \frac{ {25\choose 2}{31\choose 2}31^{23} +31- \sum_{n=1}^{12}n}{31^{25}}
b) wybieram liczbę i przyporządkowuje jej 10 reszcie liczb z dziedziny przyporządkowuje liczby z zakresu <1,10> . P(B)= \frac{{25\choose 1}*10^{24} - \sum_{n=1}^{9}n }{31^{25}}
c) P(C)= \frac{{31\choose 2}*2^{25}}{31^{25}}

zadanie 5
oczywiście f(1)= \frac{3}{5} oraz f(-1)= -\frac{3}{5}
przyjmijmy że
x=a wtedy f(a)+4f( \frac{1}{a})=3a
x= \frac{1}{a} dla a \neq 0 bo x \neq 0 mamyf( \frac{1}{a})+4f(a)= \frac{3}{a} oba te równania muszą być spelnione równocześnie a więc mamy układ
\begin{cases} f(a)+4f( \frac{1}{a})=3a \\ f( \frac{1}{a})+4f(a)= \frac{3}{a} \end{cases} sumujemy równania i mamy f(a)+f( \frac{1}{a})= \frac{3a+ \frac{3}{a}}{5} wyznaczamy z drugiego równania f( \frac{1}{a})=\frac{3}{a}-4f(a) podstawiając i upraszczając otrzymujem szukaną funkcje f(x)= \frac{4-x^{2}}{5x}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 lip 2009, o 17:11 
Moderator

Posty: 4438
Lokalizacja: Łódź
Oceny:
zadanie 1.: 0
zadanie 2.: 6
zadanie 3.: 6
zadanie 4.: 0
zadanie 5.: 6

W zadaniu 1. nie podjęto próby rozwiązania. Zadanie 4. rozwiązane błędnie, poza wyznaczeniem liczności wszystkich zdarzeń elementarnych.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 lip 2009, o 18:04 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Zgadzam się z wszystkimi ocenami.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kategoria II, 6 lipca 2009, 00:20  Liga  2
 Kategoria II - limes123 4 lutego 2011, 14:00  Liga  1
 Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47  Liga  5
 Kategoria II, 6 lipca 2009, 12:24  Liga  2
 Kategoria II, 5 lipca 2009, 20:13  Liga  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl