szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lip 2009, o 23:25 
Gość Specjalny

Posty: 168
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
Zadanie 1.
Z:
a_{1}, a_{2},...,a _{15} \in Z.
1 <a_{1} < a_{2}<...<a _{15} <2009.
Liczby a_{1}, a_{2},...,a _{15} są parami względnie pierwsze.
T:
Co najmniej jedna z liczb a_{1}, a_{2},...,a _{15} jest pierwsza.
D:
Udowodnijmy to nie wprost (załóżmy, że żadna z liczb a_{1}, a_{2},...,a _{15} nie jest pierwsza). Liczby a_{1}, a_{2},...,a _{15} są najbardziej optymalne wtedy, gdy są kwadratami liczb pierwszych (gdyż wówczas są niezbyt duże i mają tylko jeden dzielnik pierwszy, czyli nie zajmują dzielników, które mogłyby dzielić inne liczby). Wypiszmy sobie 15 początkowych kwadratów liczb pierwszych:
4
9
25
49
121
169
289
361
529
841
961
1369
1681
1849
2209
Jak widać, największy kwadrat (47*47=2209) jest większy od 2009, a zatem doszliśmy do sprzeczności, czyli co najmniej jedna z liczb a_{1}, a_{2},...,a _{15} musi być pierwsza.

Zadanie 2.
Dane:
W trójkącie \Delta ABC punkt D jest środkiem boku AB, a punkt E jest takim punktem należącym do odcinka
BC, że: |BE|=2 \cdot |EC| oraz \angle ADC = \angle BAE.
Szukane:
Znajdź miarę kąta \angle BAC.
Rozwiązanie:
Oznaczmy przez P punkt przecięcia prostych CD i AE.
Wówczas trójkąt ADP jest równoramienny. Oznaczmy spodek wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok AD przez S.
Prosta BP przecina bok AC w punkcie F. Z twierdzenia Cevy (którego dowód znajduje się na Wikipedii) wyliczamy, że AF=2*CF.
Następnie z twierdzenia Van Aubela dla trójkąta (którego dowód także znajduje się na Wikipedii) wyliczamy, że DP=PC. Zatem trójkąt ADC jest podobny do trójkąta SDP (cecha bkb), z czego wynika, że \sphericalangle DSP = \sphericalangle DAC, a zatem, skoro wiemy, że w trójkącie równoramiennym wysokośc opuszczona na podstawę jest do niej prostopadła, to wiemy także, że 90= \sphericalangle DSP = \sphericalangle DAC.
A zatem kąt BAC, którego miara jest równa mierze kąta DAC jest prosty.
Sprawdzenie:
W trójkącie \Delta ABC punkt D jest środkiem boku AB, a punkt E jest takim punktem należącym do odcinka
BC, że: |BE|=2 \cdot |EC| Wiemy ponadto, że kąt BAC jest prosty. Udowodnij, że \angle ADC = \angle BAE.
Oznaczmy bok AB przez a, BC przez b, a AC przez c.
Wiemy, że kąty ADC i BAE są ostre. \tg (ADC)=  \frac{c}{ \frac{a}{2} }= \frac{2c}{a}. Z twierdzenia Talesa (którego dowód znajduje się na wikipedii) wiemy, że wysokośc trójkąta ABE opuszczona na bok AB, której spodek oznaczymy przez G ma długośc \frac{2c}{3} i że długośc odcinka AG wynosi \frac{a}{3}. A zatem \tg (BAE) =  \frac{2c}{ 3*\frac{a}{3} }= \frac{2c}{a}. A skoro tangensy dwóch kątów ostrych są równe, to także ich miary są równe.
Odpowiedź: Miara kąta BAC wynosi 90 stopni.

Zadanie 3.
Z:
a,b,c \in R
T:
(a+b)(a+c) \ge  2\sqrt{abc(a+b+c)}
D:
Oznaczmy przez x,y odpowiednio liczby \sqrt{a(a+b+c)} i \sqrt{bc}.
(x-y)^2 \ge 0  \Rightarrow x^2+y^2 \ge 2xy, co jest równoznaczne z a(a+b+c)+bc  \ge 2\sqrt{abc(a+b+c)}, czyli
a^2+ab+ac+bc \ge 2\sqrt{abc(a+b+c)}  \Rightarrow (a+b)(a+c) \ge 2\sqrt{abc(a+b+c)}, C.B.D.O

Zadanie 4.
Z:
x _{1},x _{2},...,x _{2000} \in Z
x_{n+1}=x_{n}+1.
T:
Wykazać, że nie istnieje takie m \in Z, że \sum_{n=1}^{2000} x_{n}=m^2.
D:
\sum_{n=1}^{2000} x_{n}=2000*x_{1}+ \frac{1999*2000}{2}=2000(x_{1}+ \frac{1999}{2})=1000(2*x_{1}+1999). Aby liczba 1000(2*x{1}+1999) była kwadratem, to musi istnieć takie k \in Z, że 2*x_{1}+1999=k^2*10. Jednakże liczba 2*x{1}+1999 jest nieparzysta, więc nie istnieje takie k \in Z, a zatem liczba \sum_{n=1}^{2000} x_{n} nie może być kwadratem liczby całkowitej, C.B.D.O

Zadanie 5.
dane:
x,y,k  \in R.
\begin{cases}x^2-y^2 = 0 \\ (x-k)^2+y^2=1 \end{cases}
szukane:
Dla jakich k rzeczywistych ten układ równań ma dokładnie 3 pary rozwiązań w liczbach rzeczywistych (x,y)?
rozwiązanie:
x^2-y^2 = 0  \Rightarrow x^2=y^2.
(x-k)^2+y^2=1  \Rightarrow y^2=1-(x-k)^2. Wykres tej funkcji jest okręgiem o promieniu 1 i środku w punkcie [-k,0]. Wykres funkcji y^2=x^2 to dwie proste przechodzące przez punkt [0,0], nachylone pod kątem 45 stopni do osi OX i prostopadłe do siebie. Proste te mogą mieć 4,3,2 lub 0 punktów wspólnych z okręgiem. Aby miały 3 punkty wspólne, to te punkty wspólne muszą się znajdować w punktach [0,0],[1,1],[-1,-1] lub [0,0],[1,-1],[-1,1].
W takim wypadku jedyne k, dla których punkty wspólne są właśnie w tamtych miejscach, to 1 i -1.
Sprawdzenie
1* k=1
x^2=y^2
(x-1)^2+y^2=1  \Leftrightarrow x^2-2x+y^2=0  \Rightarrow 2x^2=2x  \Rightarrow x^2=x. To równanie ma następujące rozwiązania:
1.x=0, y=0
2.x=1,y=-1
3.x=1,y=1

2* k=-1
x^2=y^2
(x+1)^2+y^2=1  \Leftrightarrow x^2+2x+y^2=0  \Rightarrow 2x^2=-2x  \Rightarrow x^2=-x. To równanie ma następujące rozwiązania:
1.x=0, y=0
2.x=-1,y=-1
3.x=-1,y=1

Odpowiedź: k należy do zbioru {1,-1}.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 lip 2009, o 17:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Oceny:

Zadanie 1 - 2
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 6
Zadanie 4 - 6
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Ogólne:
Za bardzo posługujesz się schematem. Nie powinieneś pisać: zadanie, teza, dowód czy tam dane, szukane. Po prostu pisz sam dowód. Przy popularnych (względnie) twierdzeniach typu twierdzenie Talesa czy Cevy nie musisz się odwoływać do dowodów. Poza tym Wikipedia nie gwarantuje poprawności dowodu, więc na OM(G) się na nią nie powołuj, w ogóle nie warto się powoływać na jakieś hardkorowe twierdzenia. Te dwa co wymieniłeś powyżej są typowo olimpijskie, więc możesz je stosować bez dowodu.

Zadanie 1:
Dwójka za dryfowanie wokół dowodu (chociaż równie dobrze mogłoby być 0). Intuicja poprawna, brak odpowiedniego sformułowania myśli. Wystarczyło napisać "z zasady szufladkowej istnieje liczba, która jest iloczynem liczb pierwszych, wśród których każda jest nie mniejsza niż piętnasta (licząc od najmniejszej) liczba pierwsza, czyli jest ona \ge 47^2 = 2209 - sprzeczność". Sformułowanie typu "liczby [...] najbardziej optymalne" nie powinno się znaleźć w dowodzie matematycznym.

Zadanie 2:
Uwaga do rozumowania, zapomniałeś wspomnieć, że AS=DS, ale to w miarę oczywiste.
Teraz poważna uwaga do zadania - miałeś udowodnić implikację (warunki zadania) -> (teza). Udowodniłeś poprawnie. Część zatytułowaną "sprawdzenie" poświęciłeś dowodzeniu implikacji (teza) -> (warunki zadania). Nie wczytywałem się, czy udowodniłeś poprawnie. Trzymaj się tego, co każą zrobić w zadaniu. Nie bądź nadgorliwy. W takich zadaniach praktycznie nigdy nie wykonuje się sprawdzenia, bo w końcu dowód jest zarazem drogą myślową. Sprawdzeniem jest po prostu kilkukrotne przejrzenie tego dowodu. Sprawdzenie wykonuje się, jak otrzymujesz jakieś wyniki liczbowe w równaniach/układach równań. Nie wszystkie twierdzenia dają się odwrócić, to akurat tak, ale np. a|4 \Rightarrow a|2 jest ok, ale twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2009, o 20:41 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6392
Lokalizacja: Warszawa
OK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kategoria I, 10 lipca 2009, 18:28  Liga  2
 Kategoria II, 6 lipca 2009, 19:50  Liga  2
 kategoria I - JaQb 6 lutego 2011, 13:18  Liga  1
 Kategoria I, 10 lipca 2009, 19:17  Liga  2
 Kategoria II, 7 lipca 2009, 20:51  Liga  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl