szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lip 2009, o 23:09 
Gość Specjalny

Posty: 168
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
Zadanie 1.

Rozwiązanie:

Oznaczmy liczby z treści zadania a_{1},a_{2},...,a_{15}
Podzielmy liczby pierwsze na 2 grupy:
Grupa I: Liczby pierwsze z przedziału <2,43>
Grupa II: Liczby pierwsze z przedziału <47,\infty)
Oczywiście nie ma liczb pierwszych w przedziale (43,47)
Zauważmy, że 47^2=2209> 2009, co oznacza z każda z tych 15 liczb ma w swoim rozkładzie na czynniki pierwsze co najwyżej jeden czynnik z grupy II. Liczb pierwszych z grupy I jest 14, co oznacza, że istnieje liczba a _{i}(i \in {1,2,..,15}), która w swoim rozkładzie liczby z grupy I nie ma. Z kolei a _{i} ma co najwyżej 1 czynnik z grupy II, stąd jest ona pierwsza.
c.n.d





Zadanie 2.

Rozwiązanie:
Niech Mbędzie punktem przecięcia odcinków AE i CD, a F punktem przecięcia prostej BM z bokiem AC.
Stosując tw. Cevy otrzymujemy: \frac{AD}{DB}  \cdot  \frac{BE}{EC}  \cdot  \frac{CF}{FA} =1 \Leftrightarrow  \frac{CF}{FA}= \frac{1}{2}
Następnie, stosując tw. van Aubela mamy: \frac{CM}{MD}= \frac{EC}{BE} + \frac{CF}{FA} =1, czyli CM=MD

Z założenia, trójkąt ADM jest równoramienny, czyli AM=MD

Skoro AM=MD=CM, to punkt M jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ACD. Jest on równocześnie środkiem odcinka CD, co oznacza, że odcinek CD jest średnicą wspomnianego okręgu. Kąt BAC leży naprzeciwko odcinka CD, jest więc prosty.

Zadanie 3.
Rozwiązanie:
(a+b)(a+c)=a^2+ab+ac+bc=a(a+b+c) +bc
Liczby a,b,c są nieujemne, więc podstawiając x=bc \ i \ y=a(a+b+c) można skorzystać z nierówności x+y \ge 2 \sqrt{xy}
Otrzymujemy
bc+a(a+b+c) \ge 2 \sqrt{abc(a+b+c)}
c.n.d


Zadanie 4.

Rozwiązanie:

S- suma tych liczb
Niech a będzie najmniejszą z tych liczb. Korzystając z wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy:
S=a+(a+1)+(a+2)+...+(a+1999)=2000 \cdot  \frac{a+a+1999}{2}=1000(2a+1999)=2^3 \cdot 125 \cdot (2a+1999)
Zauważmy, że liczba (2a+1999) jest nieparzysta, więc w rozkładzie na czynniki pierwsze liczbyS dwójka występuje w nieparzystej potędze, stąd nie może być ona kwadratem liczby całkowitej.
c.n.d



Zadanie 5.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że jeżeli para ( x_{0}, y _{0} ) spełnia ten układ równań, to para ( x_{0}, -y _{0} ) też. Żeby uzyskać nieparzystą liczbę rozwiązań, układ ten musi spełniać para liczb ( x_{0}, 0} )(Gdyż -0=0).
Podstawiając y=0
\begin{cases} x^2=0\\(x-k)^2=1\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases} x=0\\k^2=1\end{cases}
Stąd k=1  \vee k=-1

Podstawiająck=1 do układu otrzymujemy

\begin{cases} x^2-y^2=0\\(x-1)^2+y^2=1\end{cases}

Rzeczywiście, spełniają go jedynie 3 pary liczb: (1;1),(1;-1),(0;0)

Podstawiając k=-1 do układu otrzymujemy
\begin{cases} x^2-y^2=0\\(x+1)^2+y^2=1\end{cases}

Rzeczywiście, spełniają go jedynie 3 pary liczb: (-1;1),(-1;-1),(0;0)

Odp. k=1 \vee k=-1
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 lip 2009, o 00:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Oceny:

Zadanie 1. - 6
Zadanie 2. - 6
Zadanie 3. - 6
Zadanie 4. - 6
Zadanie 5. - 6

Komentarze:

Zadanie 1. - Ładne, precyzyjne rozwiązanie. W tym zadaniu łatwo można było "puścić słowotok".

Zadanie 2. - Istnieją prostsze metody ;)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2009, o 20:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6392
Lokalizacja: Warszawa
fajnie, że jest max.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kategoria II, 6 lipca 2009, 00:20  Liga  2
 Kategoria II, 4 lipca 2009, 11:01  Liga  3
 kategoria I - nobuddy 29 stycznia 2011, 19:22  Liga  1
 Kategoria II, 5 lipca 2009, 16:48  Liga  2
 Kategoria II, 10 lipca 2009, 23:29  Liga  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl