szukanie zaawansowane
 [ Posty: 44 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2006, o 14:42 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1137
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Zamieszczam tu zadania z VI PKM , poziom II , co prawda już po fakcie ,ale może ktoś zechce przedstawić tu swoje propozycje rozwiązań. :)

1. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste x_1, x_2 równania 2x^2 -(m-1)x+(m+1)=0 spełniają warunek |x_1-x_2|=1 ?

2. Udowodnij ,że liczba postaci n^{5}-5n^{3} +4n dzieli się przez 120.

3. Trzy kolejne liczby całkowite są długościami boków trójkąta, a także sześciany tych liczb są długościami boków pewnego trójkąta. Wykaż ,że takich trójkątów jest nieskończenie wiele. Dla jakich trójek kolejnych liczb całkowitych będących długościami boków trójkąta ich sześciany nie są długościami boków trójkąta?


4. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wiedząc, że stosunek podstaw tego trapezu jest równy 2, a jego pole 45, oblicz pole każdego z tych trójkątów.

5. Niech a,b,c oznaczają długości boków pewnego trójkąta. Czy równanie b^2x^2 +(b^2 +c^2 -a^2 )x+c^2 =0 ma pierwiastki rzeczywiste ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2006, o 15:29 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2970
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
1) |x_1-x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}.
2) \mbox{Ta suma} = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2).
3) Nierownosc trojkata.
4) Pewnie jakos z przyrownywania pol etc.. ;)
5) Nierownosc trojkata.

Zadan 3,4,5 nie chcialo mi sie robic do konca, ale wydaje mi sie, ze wyjda.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2006, o 18:29 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1137
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
a ja w pierwszym kombinowałem ze wzorów Viete'a w ten sposób |x1-x2| = \sqrt{(x1+x2)^{2} - 4x1x2}
:wink:
Góra
Kobieta
PostNapisane: 25 mar 2006, o 19:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1830
Lokalizacja: z gwiazd
dajcie jakas wskazówke do zadania 4... :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2006, o 20:23 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1137
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
w 4 te pola to mi powychodziły chyba 5,10,10,20 ale czy to jest dobrze ? Oto jest pytanie :D :P ale bawiłem się coś z porównywaniem ich :D
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2006, o 20:23 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2970
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Obrazek

Na wstepie zauwazmy, ze \Delta ECD\sim \Delta AEB, wiec x_2 = 2x_1.

S_{ABCD} = 45 = \frac{3a}{2}\cdot (x_1+x_2} = \frac{9ax_1}{2}, czyli ax_1=10.

S_{ECD} = \frac{1}{2}ax_1 = 5,
S_{ABE} = \frac{1}{2}2a\cdot 2x_1 = 2ax_1 = 20.

S_{ACD} = \frac{1}{2}a\cdot 3x_1 = 15, a S_{ADE} = S_{ACD}-S_{CDE} = 15-5=10, a S_{ADE}+S_{CEB} = 20, wiec S_{CEB} = 10.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2006, o 20:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1137
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
czyli jednak :P No to jestem z siebie dumny :D , tylko szkoda ,ze tego nie uzasadniłem :mrgreen:
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2006, o 22:01 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Warszawa
Fajny konkurs, a zadanie 4 moim skromnym zdaniem najłatwiejsze. :P

Jeszcze nie kminiłem 5.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2006, o 22:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1137
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
w 5 chyba wyszedł mi wzór skróconego mnożenia i wyszło ,że równanie ma pierwiastki rzeczywiste , rzecz jasna według mnie :wink: a moge sie mylic :mrgreen:
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2006, o 23:16 
Użytkownik

Posty: 43
Lokalizacja: dlaczego?
hehe ale to rownanie nie bardzo ma pierwiastki rzeczywiste ;).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 mar 2006, o 00:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 955
Lokalizacja: BFGD
To ja doloze zadania dla pierwszej klasy:
1.Rozwiaz w rzeczywistych rownanie (x^{2}+1)(y^{2}+1)=(x+y)^{2}+1.
2.Udowodnij ze dla dowolnego n calkowitego (n+2)(n-7)(n-9)(n-14) dzieli sie przez 12.
3.Wykaz ze jezeli a,b,c sa liczbami dodatnimi to:
ab+bc+ac>=a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}.
4.Wykaz ze nie istnieje trojkat o wysokosciach 1,2,3.
5.W trojkacie ABC przedluzono przeciwprostokatna AB poza punkt a odkladajac odcinek AD o dlugosci AC oraz poza punkt B odkladajac odcinek BE o dlugosci BC. Uzasadnij ze kat DCE=135 stopni
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 mar 2006, o 00:36 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2970
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
A, napisze sobie jeszcze 3., i juz sie nie odzywam :)

ab+bc+ca=(\sqrt{ab})^2 + (\sqrt{bc})^2+(\sqrt{ca})^2 \geq \sqrt{abbc}+\sqrt{bcca}+\sqrt{caab} = b\sqrt{ac} + c\sqrt{ab} + a\sqrt{bc}, c. k. d.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 mar 2006, o 09:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1137
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
to jak będzie z tym 5 na II poziomie :wink: ??
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 mar 2006, o 11:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2970
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
\Delta = (b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 mar 2006, o 18:23 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1137
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
no cos łapie :wink: a jeszcze może ktoś coś na temat 3 :wink: ??
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 44 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kuratoryjny Konkurs Mat. e. rejonowy, przygotowanie  Kappurubea  0
 Konkurs kuratoryjny 2010 woj. lubelskie etap okręgowy  xLinax  5
 XXVIII Konkurs Matematyczny im. prof. Jana Marszała (powiat)  mortan517  4
 Konkurs wojewódzki - pytania z lat poprzednich?  addmir  1
 Konkurs kuratoryjny 2015/16 (lubelskie) dla GIM  special_one  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl