szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 23 cze 2009, o 10:57 
Użytkownik

Posty: 63
Lokalizacja: Kutno
Wykazać, że f jest ciagła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 cze 2009, o 12:28 
Użytkownik

Posty: 476
Lokalizacja: Wrocław
Którą definicją ciągłości funkcji się posługujesz?
Góra
Kobieta
PostNapisane: 23 cze 2009, o 13:10 
Użytkownik

Posty: 63
Lokalizacja: Kutno
f jest ciągła w x_{0}\inX, jeśli \bigwedge\limits_{{x_{n} \subset X }x_{n} \to ^{ d_{x}}  x_{0}  \Rightarrow  f(x_{n}) \to ^{ d_{y}} f(x_{0})
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 cze 2009, o 15:57 
Użytkownik

Posty: 476
Lokalizacja: Wrocław
Mamy X,Y metryczne.

( \Leftarrow )

Załóżmy, że przeciwobraz przez f każdego zbioru otwartego w Y jest otwarty w X.

Pokażemy, że f jest ciągła w każdym punkcie x \in X.

Niech x \in X będzie dowolny.

Niech s>0 będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą.

Kula B(f(x),s) jest zbiorem otwartym w Y, więc

f^{-1}(B(f(x),s)) jest zbiorem otwartym w X.

Weźmy dowolny ciąg w X (x_{n})_{n=1}^{\infty} zbieżny do x.

Z tego, że f^{-1}(B(f(x),s)) jest otwartym otoczeniem x wynika, że

(\exists N)(\forall n>N)(x_{n} \in f^{-1}(B(f(x),s))). Zatem

(\exists N)(\forall n>N)(f(x_{n}) \in (B(f(x),s)).

s była dowolną liczbą większą od 0, więc (f(x_{n}))_{n=1}^{\infty} zbiega do f(x).

x był dowolnym punktem X, więc f jest ciągła w dowolnym punkcie X, więc f jest ciągła.

( \Rightarrow )

Załóżmy, że f jest ciągła i przypuśćmy nie wprost, że

istnieje taki zbiór otwarty U w Y, którego przeciwobraz przez f nie jest otwarty w X.

U jest sumą kul, zatem przeciwobraz którejś kuli w tej sumie przez funkcję f nie jest otwarty.

Niech B(y, s) będzie tą kulą dla pewnego y \in Y, s>0.

Zatem V := f^{-1}(B(y, s)) nie jest otwarty, a oznacza to, że

\exists z \in V-Int(V).

A więc dla każdego otoczenia otwartego W punktu z W \cap X-V \neq \emptyset.

Zatem istnieje taki ciąg (z_{n})_{n=1}^{\infty} \subseteq X-V zbieżny do z.

Z tego, że B(y, s) jest otwarty i f(z) \in B(y,s)

istnieje takie r>0, że B(f(z),r) \subseteq B(y,s).

Zauważmy, że (\neg \exists n)(f(z_{n}) \in B(f(z),r)). Tak więc

ciąg (f(z_{n}))_{n=1}^{\infty} nie jest zbieżny do f(z).

Więc funkcja f nie jest ciągła w z. Sprzeczność.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wnętrze zbioru. - zadanie 2  marta001  2
 Dopełnienie, wnętrze brzeg domknięcia zbioru A  adi1910  4
 Jaki jest brzeg zbioru  Anka20  1
 Brzeg zbioru liczb wymiernych  rkaminski  3
 Domknięcie iloczynu zbioru gęstego i otwartego  Astat  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl