szukanie zaawansowane
 [ Posty: 41 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2009, o 18:19 
Użytkownik

Posty: 5803
Lokalizacja: Kraków
1. a Obliczyć -stosując algorytm Euklidesa NWD(6188,4709).
b Obliczyć -dowolną metoda NWD(81719, 52003, 33649,30107)

2. Znaleźć resztę z dzielenia (12371^{56} +34)^{28} przez 111

3. Dowieść, że kongruencja x^2+1 \equiv 0 \ ( mod \ p) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy p ma postać 4m+1
zaś
kongruencja x^2+2 \equiv 0 ( \ mod \ p) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy p ma postać 8m+1 lub 8m+3


4. Czy liczba 2^{1093}-2 jest podzielna przez 1093^{2} ?

5. Niech n bedzie liczba naturalną. Dowieść, ze wszystkie współczynniki rozwiniecia dwumianu Newtona (a+b)^n są nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy n ma postać
2^k -1 dla pewnego k

6. Znaleźć rozwinięcie kanoniczne liczby 244 \ 943 \ 325

7. Rozwiąż ukłąd kongruencji
\begin{cases} 3x+4y-29  \equiv 0 \ (mod \ 143)  \\ 2x-9y+84  \equiv 0 \ (mod \ 143) \end{cases}

8. a Wyznacz pierwiastki pierwotne liczby p=41
b Dowieść, że liczba 3 jest pierwiastkiem pierwotnym liczby pierwszej postaci 2^n p +1, gdzie n>1 i p > \frac{3^{2^{n-1}}}{2^n}

9. Obliczyć jak najprostszym sposobem wykładnik, do którego należy liczba 7 według modułu 43

10. Niech s=\frac{1}{3} +\frac{1}{5} +\frac{1}{7} +....+\frac{1}{2n+1}, dla n>0. Wykaż, że s nie jest liczbą całkowitą

11. a Znaleźć wykladnik potęgi, w której czynnik 5 występuje w rozkładzie kanonicznym liczby 5258!
b Znaleźć rozkład kanoniczny liczby 125!

12. Uzywając symbolu Legendre'a zbadaj czy kongruencja ma rozwiązania (i ile?) x^2 \equiv 219 \ (mod \ 383)

13. Rozważmy ciąg złożony z 286 liczb:
1*2....*10, \ 2*3....*11, \ 3*4....*12, \ ....., \ 285*286*....*294, \ 286*287*....*295
Ile jest w tym ciągu liczb będących wielokrotnościami liczby 143 ?

14.Niech k będzie liczbą naturalną, zaś d przebiega liczby spełniające warunki d>0 i \phi(d)=k. Wykaż, ze
\sum_{d} \mu(d) =0, gdzie \mu() jest funkcją Mobiusa

15. Dana jest forma 3^nx_n + 3^{n-1}x_{n-1}+...+3x_{1}+3^{0}x_{0}., gdzie każda z liczb x_n, x_{n-1}, ...., x_1, x_0 niezależnie od pozostałych przebiega wartości -1,0,1. Dowieść, że ta forma wyraża wszystkie liczby:
-H, ...., -1, 0, 1, ...., H , gdzie H= \frac{3^{n+1}-1}{2}
i to każda liczbę jednym tylko sposobem.
Gdy n=5 podaj rozkład liczby 152.


16. a Podaj kongruencję 7 go stopnia, w której współczynnik przy najwyższej potędze niewiadomej równy jest 1, i która jest równoważna z kongruencją:
2x^7+ x^3+4 \equiv 0 \ (mod \ 7)
b Z jaką kongruencją stopnia < 5 jest równoważna kongruencja
3x^{14}+4x^{13}+3x^{12}+2x^{11}+x^{9}+ 2x^{8}+4x^{7}+ x^{6}+3x^{4}+x^{3}+4x^{2}+2x \equiv 0 \ (mod \ 5)?

17.a Wypisz wszystkie reszty kwadratowe dla modułu p=11
b Podaj największą nieresztę kwadratowa (jest ich 8) dla modułu p=17

18. a Jaka jest reszta z dzielenia {28 \choose 14} przez 29 ?
b Jaka jest reszta z dzielenia \frac{2^{31}-2}{31} przez 31 ?

19. Niech n>0, a T niech bedzie liczbą punktów kratowych, obszaru x>0, y>0, \ xy \leq n. Dowieść, że
T=2 \sum_{0 <x \leq \sqrt{n}} \lceil \frac{n}{x} \rceil - (\lceil \sqrt{n} \rceil)^2

20*. Znależć cztery takie liczby naturalne, aby suma każdych dwóch spośród nich była pełnym kwadratem. (Jest to uogólnienie zadania Diofantosa dla trzech liczb, - wtedy mozna wziasc np. 41, 80, 320).

21*. Wyznaczyć wszystkie trójki x,y,z liczb całkowitych takie, że liczby
x^2+y, \ y^2+z, \ z^2+x
są kwadratami liczb całkowitych

22. Wykazać, ze dla każdej liczby pierwszej p istnieją co najwyżej dwie liczby naturalne n, dla których wartość wyrażenia p2^n+1 jest kwadratem liczby naturalnej. Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze, dla których istnieją dokładnie dwie takie liczby.

23. Używając tw Wilsona wykaż, ze: na to aby liczba p>1 była pierwsza potzreba i wystarcza, aby (p-2)! \equiv 1 \ (mod \ p)


:arrow: :arrow: Komentarz
:arrow: Dla tych co lubia teorie liczb, :arrow: Zadania pochodza (z wyjatkiem dwoch oznaczonych gwiazdka)- z ksiazki Iwan Winogradow, "Elementy teorii liczb" PWN, 1954 r. i są ciekawe.
Zapraszam wszystkich do rozwiazywania
Powodzenia ! :D
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2009, o 19:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 865
Lokalizacja: Brodnica
1.
a)
Ukryta treść:    


b)
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2009, o 19:40 
Użytkownik

Posty: 179
Lokalizacja: Olsztyn
Zrobiłem zadanko 4! Bardzo prosiłbym kogoś o sprawdzenie rozwiązania, to jest mój pierwszy tego typu przykład ;)

2^{1093}-2\equiv0(mod\ 1093^2)\qquad\Rightarrow\qquad 2^{1093}\equiv2(mod\ 1093)

Z tw. Eulera mamy:

a^{\varphi (m)}\equiv 1(mod\ m)

2^{\varphi (1093)}\equiv 1(mod\ 1093)\qquad\Rightarrow\qquad 2^{1092}\equiv 1(mod\ 1093)

Mnożąc to przez następującą kongruencję:

2\equiv -1091(mod\ 1093)

... otrzymujemy:

2^{1093}\equiv-1091(mod\ 1093)

Teraz od kongruencji na początku posta odjąłem tą ostatnią:

0\equiv1093(mod\ 1093)

... co oczywiście świadczy o tym, że liczba ta jest podzielna przez 1093^2.

I jak? :D
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2009, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 2000
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
18. a)
z twierdzenia Wilsona 28! \equiv -1 (mod \ 29)
ponadto (14!)^2 \equiv 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 14 \cdot (-28) \cdot (-27) \cdot ... \cdot (-15) \equiv 28! \equiv -1 \ (mod \ 29)
NWD(29, 28!)=NWD(29, (14!)^2)=1 wiec kongruencje mozemy podzielic stronami co nam daje
{28 \choose 14} \equiv 1 \ (mod \ 29)
---
tomalla napisał(a):
Zrobiłem zadanko 4!
4!=24 a niestety są tylko 23 zadania... ;-)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2009, o 19:56 
Użytkownik

Posty: 179
Lokalizacja: Olsztyn
Zabawne, Dumel :P Zamiast się naśmiewać, powiedziałbyś czy dobrze obliczyłem :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2009, o 19:57 
Użytkownik

Posty: 2000
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
chyba zapomniales ze trzeba rozstrzygnac podzielnosc przez 1093^2 a nie przez 1093.
chyba ze nie zapomniales ale wtedy tez jest zle bo oparles przeksztalcenia na implikacji a nie rownoważności
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2009, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 179
Lokalizacja: Olsztyn
Nie wiem, czy o to ci chodzi, ale końcówkę posta już zdążyłem poprawić przed tobą :) Jeżeli nie, to powiedz o jakim fragmencie mówisz.
Góra
PostNapisane: 2 maja 2009, o 20:03 
Użytkownik
2. L \equiv (50^{56} + 34)^{28} \equiv (16+34)^{28} \equiv 70 \pmod{111}

Chodzi o tę dziwną :?: implikację na początku, która jest błędem.

-- 2 maja 2009, 20:08 --

16a) x^7 +x^3 +x +4
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2009, o 20:08 
Użytkownik

Posty: 2000
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
zad. 23.
zgodnie z twierdzeniem Wilsona p jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy gdy (p-1)! \equiv -1 (mod \ p) co jest rownowazne kongruencji (p-1)! \equiv p-1 (mod \ p). liczby p i p-1 są względnie pierwsze wiec dzieląc kongruencję stronami dostajemy (p-2)! \equiv 1(mod \ p)
Góra
PostNapisane: 2 maja 2009, o 20:12 
Użytkownik
16b) 8x^4 + 7x^3 + 8x^2 + 7x

-- 2 maja 2009, 20:22 --

12.

\left( \frac{219}{383} \right)= \left( \frac{3}{383} \right) \left( \frac{73}{383} \right) = - \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{18}{73} \right) = \left( \frac{3}{73} \right)^2 \left( \frac{2}{73} \right)= (-1)^\frac{73^2-1}{8}=1

Czyli jest resztą kwadratową.

-- 2 maja 2009, 20:35 --

6. =3^3 \cdot 5^2 \cdot 11^2 \cdot 2999

-- 2 maja 2009, 20:39 --

11a)

\sum_{i=1}^{\infty} \left[ \frac{5258}{5^i }\right] =1051+210+42+8 +1=1312
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2009, o 20:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1873
Lokalizacja: Warszawa
tomalla napisał(a):
Nie wiem, czy o to ci chodzi, ale końcówkę posta już zdążyłem poprawić przed tobą :) Jeżeli nie, to powiedz o jakim fragmencie mówisz.

Nie znam własności funkcji \varphi(n) ani twierdzenia Eulera (tzn. no niby znam nawet 2, ale inne :D), więc nie rozumiem rozwiązania zadania w całości, ale z tego co widzę, to udowodniłeś że x\equiv1093 (mod 1993), a z tego wcale nie wynika, że dana liczba jest podzielna przez 1093^{2}.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2009, o 21:07 
Użytkownik

Posty: 179
Lokalizacja: Olsztyn
Na samym początku postu mam:

2^{1093}-2\equiv0(mod\ 1093^2)\qquad\Rightarrow\qquad 2^{1093}\equiv2(mod\ 1093)

Skoro

2^{1093}\equiv2(mod\ 1093)

jest prawdziwe, to

2^{1093}-2\equiv0(mod\ 1093^2)

także jest prawdziwe. Z logiki nie byłem nigdy dobry, więc jak to nie jest jednak prawdą, to ... napiszcie :P
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2009, o 21:17 
Użytkownik

Posty: 2000
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
tomalla napisał(a):
Na samym początku postu mam:
2^{1093}-2\equiv0(mod\ 1093^2)\qquad\Rightarrow\qquad 2^{1093}\equiv2(mod\ 1093)

to jest samo w sobie ok ale nic Ci tu nie daje i wprowadza Ciebie w błąd
tomalla napisał(a):
Skoro
2^{1093}\equiv2(mod\ 1093)
jest prawdziwe, to
2^{1093}-2\equiv0(mod\ 1093^2)
także jest prawdziwe.

tu za to wykorzystujesz nieprawdziwą implikację
2^{1093}\equiv2(mod\ 1093)\qquad\Rightarrow\qquad 2^{1093}-2\equiv0(mod\ 1093^2)
inaczej nie potrafie tego wujaśnić (moze jeszcze tak: \Rightarrow  \neq  \Leftrightarrow) Twój dowód to coś w stylu: 4|2 \Rightarrow 2|2 a teraz 2|2 \Rightarrow 4|2 cnd
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2009, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 179
Lokalizacja: Olsztyn
Możliwe, że coś pokręciłem :?

Jak to jest z zasadą:

a\equiv b(mod\ m)

i:

d|m

to:

a\equiv b(mod\ d)

Rozumiem, że źle to zinterpretowałem, tak? Tutaj jest błąd?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2009, o 22:05 
Użytkownik

Posty: 2000
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
to prawda, ale implikacja w drugą stronę jest fałszywa
(ale śmietnik już sie w tym temacie zrobił)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 41 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Teoria liczb] Rozwiązać w liczbach naturalnych  pawelsuz  1
 [Teoria liczb] Prosta teoria liczb - liczba dzielników  KPR  1
 [Teoria liczb] Równanie z podłogami  porfirion  3
 [Teoria liczb] Równanie w liczbach naturalnych - zadanie 4  darek20  2
 [Teoria liczb] Minimalna wartość wyrażenia  Zahion  22
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl