szukanie zaawansowane
 [ Posty: 41 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2, 3
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 26 sie 2009, o 12:28 
Użytkownik

Posty: 5803
Lokalizacja: Kraków
moze warto odswiezyc stary watek,
Zostały: 3, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 19, 20, 21 :D
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 sie 2009, o 13:00 
Użytkownik

Posty: 547
Lokalizacja: Bielsko-Biała
zatem 10.
Niech p będzie największą liczbą pierwszą spośród liczb nieparzystych ze zbioru N=(3,5,...2n+1) Załóżmy, że istnieje inna liczba naturalna q ze zboru N podzielna przez p, wówczas q \ge 3p>2p, lecz zgodnie z twierdzeniem Czebyszewa w przedziale (p,2p) znajduje się co najmniej jedna liczba pierwsza, która jest większa od p- sprzeczność, zatem jedyną liczbą ze zboru N podzielną przez p jest p.

zatem s= \frac{1}{p} +  \frac{A}{B} dla pewnych naturalnych A,B przy czym (A,B)=1, oraz (p,B)=1
dalej: s= \frac{B+Ap}{pB} lecz licznik tego ułamka nie jest podzielny przez p, zatem liczba s nie jest liczbą całkowitą, co kończy dowód
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 sie 2009, o 11:37 
Użytkownik

Posty: 569
Lokalizacja: BK
3. (pierwsza część) Korzystamy oczywiście z własności symbolu Legendre'a

x^{2} \equiv -1 \ ( mod \ p) \\ ( \frac{-1}{p}) =(-1)^{ \frac{p-1}{2}}=1 \Leftrightarrow 2| \frac{p-1}{2} \Leftrightarrow p \equiv 1 \ (mod \ 4)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 sie 2009, o 14:27 
Użytkownik

Posty: 1659
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Alternatywa do 10 (ale lepiej niech ktoś to sprawdzi)
Wykorzystamy wzór Leibniza:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
Teraz obustronnie wykonamy działania:
-1+2( \frac{1}{3} + \frac{1}{7}+ \frac{1}{11}+ ...)
Otrzymamy:
\frac{\pi}{4} -1+2( \frac{1}{3} + \frac{1}{7}+\frac{1}{11}+ ...)= \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{5} +...+ \frac{1}{2n+1}}_{szukana \ suma}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}+...
Teraz znowu obustronnie wykonujemy działania:
-(\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}+...) i otrzymujemy:
\frac{\pi}{4} -1+2( \frac{1}{3} + \frac{1}{7}+\frac{1}{11}+ ...)-(\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}+...)= \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{5} +...+ \frac{1}{2n+1}}_{szukana \ suma}

Widać, że do zapisu naszej sumy użyto liczby niewymiernej \pi zatem możemy stwierdzić, że nasza suma nie jest całkowita oraz nawet wymierna.

(Nie używałem znaczka sumy bo ciężko byłoby się połapać)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 sie 2009, o 14:54 
Gość Specjalny

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
Niestety sumowanie nieskończone w ogólności nie jest łączne, więc tak postąpić nie możesz.
Przykładowo suma \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + ... jest nieograniczona, więc nie możesz na niej operować arytmetycznie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 sie 2009, o 15:07 
Użytkownik

Posty: 1659
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Zatem przyznaje ludzie dzielą się na 3 grupy
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 sie 2009, o 22:31 
Gość Specjalny

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
Nie przejmuj się - to jest częsty błąd początkujących w analizie. Ty przynajmniej od razu wiesz, o co biega, a innych ani naoczne dowody, ani twierdzenie Riemanna nie przekonują... ;)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 paź 2015, o 13:59 
Użytkownik

Posty: 5803
Lokalizacja: Kraków
Zadanie 20
Cytuj:
Znaleźć cztery takie liczby naturalne, aby suma każdych dwóch spośród nich była pełnym kwadratem. (Jest to uogólnienie zadania Diofantosa dla trzech liczb, - wtedy można wziąść np. 41, 80, 320).

jest jako 65 problem z Nierozwiazanych;
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 wrz 2018, o 00:49 
Użytkownik

Posty: 714
Lokalizacja: Polska
mol_ksiazkowy napisał(a):
Zadanie 20
...
Co do właściwiego pytania :
i) czy trójkę (41, 80, 320) można rozrzeszyć do czwórki (dodając jeszcze jedną liczbę) ?

Nie można rozszerzyć tej trójki liczb do czwórki - liczby mają zbyt niskie wartości oraz jest za mała różnica między nimi [problem sfery i prostej].
mol_ksiazkowy napisał(a):
ii) czy problem
Cytuj:
Znaleźć cztery takie liczby naturalne, aby suma każdych dwóch spośród nich była pełnym kwadratem i suma wszystkich była kwadratem
ma rozwiązanie ?
(można zauważyć ze 41+80+320= 21^2)

Tak. 137764,45.htm#p5550422
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 wrz 2018, o 08:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7029
9:    


13:    



15:    



19:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 wrz 2018, o 14:04 
Użytkownik

Posty: 714
Lokalizacja: Polska
4.:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 41 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2, 3


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Teoria liczb] Równanie diofantyczne - zadanie 16  Feanora  2
 [Teoria liczb] Rozkładalność na sumę trzech kwadratów  bakala12  6
 [Teoria liczb] Dwie podzielności na raz - zadanie 8  Swistak  3
 [Teoria liczb] Dwa równania nieoznaczone  neworder  2
 [Teoria liczb] Liczba pomiędzy sześcianem a bikwadratem  Artist  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl