szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
 Tytuł: Kamyki i figury
PostNapisane: 29 kwi 2009, o 20:19 
Użytkownik

Posty: 5840
Lokalizacja: Kraków
Jak niektóre źrodła podaja powstanie teorii tej wiąże sie z odkryciem jak mozna ilustrować pewne działania podobnie jak to robi sie dziś. Przy tej okazji pitagorejczycy spostrzegli, ze mnoząc równe liczby otrzymuje sie liczbę, której odpowiada kwadrat, -a dla różnych prostokąt. Nastepny krok, to zrobienie trójkąta, np poprzez podział jednej z wcześniejszych konfiguracji. Te trzy klasy, tj: kwadraty, prostokaty i trójkaty stanowią najstarszy fragment całego zjawiska. Budując figury z kamyków, mamy bardzo intuicyjną i czytelną interpretację znanych wzorów z algebry. Teoria ta rozwijala sie przez ponad dwa tysiaclecia i wciąż jest rozwijana. Aby wiec zacząć od poczatku wprowadza sie poniższe pojecie.


Gnomony >Liczby trójkątne są przykładem liczb-figur (lub inaczej figuralnych), W teorii tej ważne pojęcie to jest gnomon: tj liczba, która dodana do dowolnego wyrazu w danej klasie liczb figuralnych tworzy następny wyraz tej klasy. Gdy pierwszym wyrazem tworzonej klasy jest liczba dwa, i gnomonami są kolejne liczby parzyste poczawszy od czterech, powstaje klasa liczb prostokątnych. Jesli pierwszym wyrazem tworzonej klasy jest jedność, a gnomonami są kolejne liczby począwszy od dwoch, mamy klasę liczb trójkątnych. I wreszcie klasa liczb tetraedralnych powstaje gdy zaczynamy od jedności, zaś gnomonami są liczby trójkątne.

:arrow:
Liczby kwadratowe są iloczynami dwóch równych czynników, a Liczby prostokątne są iloczynami dwóch czynników róznicych sie o jeden. Liczba kwadratowa jest sumą dwóch kolejnych liczb trójkątnych. i na koniec Liczba prostokątna jest podwojeniem odpowiedniej liczby trójkątnej *

Jak np obliczyć sumę kolejnych liczb 1, 2,....n ? Sprytnie zrobił to Gauss, łączac pierwsza z ostatnią, etc uzyskujac pary o stałej sumie, ale np Archimedes postapił inaczej *: podzielił on n poziomych rzędów po n+1 kamyczków w każdym , na dwa identyczne układy odpowiadające liczbie trójkątnej (rozciał "po przekątnej"). A wiec istotnie:
2(1+....+n)= 2t_n=n(n+1)



Liczby trójkątne
n ta liczba trójkątna ma postać t_n=1+...+n i maja one prostą interptacje (n kamyczków) w n tym rzedzie. Spośrod wielu ich własności: trzy wzory \sum_{k=1}^{2n-1} (-1)^{k+1} t_k =n^2. Drugi wzór ma postać (i wynika z rozpisania "róznicy kwadratów") otrzymujemy od razu ze t_{n+1}^2- t_n^2 =(n+1)^3. Trzeci wzor mówi, że suma kolejnych liczb nieparzystych jest zawsze liczba kwadratową. Wynika to ze stosownego ułozenia kamyków tworzących kwadrat.:
1+3+...+2n-1= n^2

Euler rozwaąał i wykazał, że: liczby postaci jak ponizej () są l trójkątymi i zarazem kwadratowymi. oraz ze zapis ten wyczerpuje wszystkie takie przypadki. A także liczby z_j, których kwadraty sa l. trójkątnymi spełniaja rekurencję z_{j+1}=6z_j -z_{j-1}

() \frac{1}{32} ((3+\sqrt{8})^n - (3-\sqrt{8})^n )^2



Liczby trójkatne-Wiecej wzorów

uwagi: trzymajac sie tu interpretacji z kamykami, mówimy że bokiem liczby kwadratowej n^2 jest liczba n. Liczba prostokątna p_n ma postać n(n+1), zaś liczby tetraedralne T_n ("czworościenne") dane sa wzorem 6T_n= n(n+1)(n+2), a też t_n=T_n - T_{n-1}. Można i dalej : n tą liczbą m kątna jest n +(m-2) \frac{n(n-1)}{2}
Uwaga: Zachodzi fakt: Kazda liczba naturalna moę być zapisana w postaci sumy co najwyzej n liczb n kątnych


Rekurencja (dla liczb trójkątnych):
t_{m+n}= t_m+t_n+mn

t_{mn}=t_mt_n +t_{m-1}t_{n-1}

Wzory "dualne"
t_{2n}= 3t_n +t_{n-1}
t_{2n+1}= 3t_n +t_{n+1}




Nieparzysta liczba kwadratowa po odrzuceniu jedności staje się sumą czterech identycznych liczb prostokątnych.
tj
\frac{n^2-1}{4}=\frac{n-1}{2} (\frac{n-1}{2} +1)= p_{\frac{n-1}{2}}
a wiec z *
Nieparzysta liczba kwadratowa po odrzuceniu jedności staje się sumą ośmiu identycznych liczb trójkątnych
tj
\frac{n^2-1}{8}=t_{\frac{n-1}{2}}

Twierdzenie to zwane jest tw . Diofantosa (III w. n.e.), choć jego rodowód jest wcześniejszy ma tez ciekawa interpetację z kamyczkami. Tu owo "odrzucenie jedności" to wyjęcie kamyka ze środka kwadratu. Inna forma zapisu tego twierdzenia jest wzór:
t_{n-1}+6t_n+t_{n+1}=8t_n+1=(2n+1)^2


-->Każda liczba kwadratowa jest podzielna przez trzy albo staje się podzielna przez trzy po odrzuceniu jedności. Parzysta liczba kwadratowa jest suma czterech identycznych liczb kwadratowych.




Teoria trójek pitagorejskich
Jak wiemy u starożytnych arytmetyka "szła w parze" mocno z geometrią. Tw Pitarorasa gra tu szczególna rolę. Mówimy, ze liczby całkowite dodatnie A, B, C tworzą trójkę pitagorejską, gdy A^2+ B^2 =C^2. Pitagorejczycy znali taką oto regułę (wzór a) ) wyznaczania takich trójek. zaś wzór b) niektore źródła przypisuja Platonowi (wg innych Archytas ,IV w. p.n.e):

a) Jeśli N jest liczbą nieparzystą, to liczby N, \ \frac{N^2-1}{2}, \ \frac{N^2+1}{2} stanowią trójkę pitagorejską. **
[][]

b) Jeśli M jest liczbą parzystą, to liczby M, \ (\frac{M}{2})^2-1, \ (\frac{M}{2})^2+1 stanowią trójkę pitagorejską.


** Gdy N=3 mamy słynny "święty trójkąt"
Dowód a) (kamyczkowy)
Kazda Liczba nieparzysta zgodnie z określeniem jest różnicą dwóch kolejnych liczb kwadratowych. Jesli zaś ponadto ta l. nieparzysta sama jest liczbą kwadratową, to powstaje trójka liczb kwadratowych, tj. wewnętrzna, gnomon i zewnętrzna. Wystarczy wiec ułożyć kamyczki lub zapisać:
(n+1)^2= n^2 +(2n+1)
2n+1=N^2
tj n=\frac{N^2-1}{2}

Dowód b) szkic
Różnica miedzy dwoma liczbami kwadratowymi, t ze ich boki różnia sie o dwa jest podzielna przez cztery. Dalej różnica ta moze być liczba kwadratowa, tj
(n+2)^2-n^2=4(n+1)=M^2
n=(\frac{M}{2})^2 -1
:arrow: cbdo.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kamyki i figury  mol_ksiazkowy  0
 środek ciężkości figury  tommy007  0
 Pole figury ograniczonej funkcją..?  Roaster  5
 Wpisywanie okręgów w figury[hipoteza]  Przemyslaw Grabowski  4
 Obwód figury  kamiltambo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl