Dowód wzoru z tablic mat.

[ptaq]

Witam. Zna ktoś dowód na twierdzenie z tablic,

jeżeli A+B+C=180 to

\(\displaystyle{ sin^{2}A+sin^{2}B+sin^{2}C=2cosAcosBcosC+2}\)

Pozdrawiam

[ Dodano: Pią Mar 25, 2005 3:21 am ]
Siedziałem nad tym chyba z 5 godzin, więc sie musze pochwalić, że w końcu doszedłem....


\(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=180 \\cos^{2}\alpha+cos^{2}\beta+cos^{2}\gamma=\\\frac{1}{2}+\frac{cos2\alpha}{2}+\frac{1}{2}+\frac{cos2\beta}{2}+\frac{1}{2}+\frac{cos2\gamma}{2}=\\\frac{3}{2}+\frac{1}{2}(cos2\alpha+cos2\beta+cos2\gamma)=\\\frac{3}{2}+\frac{1}{2}(cos2\alpha+cos2\beta+2cos^{2}\gamma-1)=\\\frac{3}{2}+\frac{1}{2}(2cos(\alpha+\beta)cos(\alpha-\beta)+2cos^{2}\gamma)-\frac{1}{2}=\\1+(cos(\alpha+\beta)cos(\alpha-\beta)+cos^{2}\gamma)=\\1+(-cos\gamma cos(\alpha-\beta)+cos\gamma(-cos(\alpha+\beta)))=\\1-cos\gamma(cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta))=\\1-cos\gamma(cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta+cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta)=\\1-2cos\alpha cos\beta cos\gamma \\\\\\=>\\\\1-sin^{2}\alpha+1-sin^{2}\beta+1-sin{2}\gamma=\\1-2cos\alpha cos\beta cos \gamma =>\\sin^{2}\alpha+sin^{2}\beta+sin{2}\gamma=2+2cos\alpha cos\beta cos\gamma}\) CND

[Undre]

zaktualizowałem temat postu, gdyż jego treść nieco się z twej inicjatywy rozrosła. Gratuluję wytrwałości ( po 5 godzinach to ja bym chyba spał albo dawno poszedł na spacer ). Pozdrawiam