objętość części wspólnej walców

cristiano86 · Post autor: **cristiano86** » 12 maja 2006, o 10:14

mamy dwa walce o takich samych promieniach r, walce przecinają się pod kątek prostym w połowie ich długości. Należy obliczyć objętość części wspólnej tych walców.

Fibik · Post autor: **Fibik** » 12 maja 2006, o 19:27

Nie wiem o co chodzi z tym przecinaniem się w połowie długości,
dlatego zakładam, że osie walców przecinają się.

Część wspólna składa się z szesnastu symetrycznie rozłożonych równych części:

\(\displaystyle{ V = 16\cdot \int\limits_0^r dx \int\limits_0^x \sqrt{r^2-x^2}dy = \frac{16}{3}r^3}\)

cristiano86 · Post autor: **cristiano86** » 12 maja 2006, o 19:52

dzięki za rozwiązani ale czy moge prosić o więcej szczegółów bo jakoś nie widze skąd to się wzieło

Fibik · Post autor: **Fibik** » 13 maja 2006, o 01:05

Równanie walca o osi pokrywającej się z y:
\(\displaystyle{ x^2 + z^2 = r^2}\)
drugi walec podobnie:
\(\displaystyle{ y^2 + z^2 = r^2}\)

Obszar całkowania to trójkąt ograniczony prostymi:
od y = x do y = -x, ale wystarczy nam połowa:
od y = 0 do y = x, a x idzie od 0 do r

W obszarze tym pierwszy walec jest całkowicie zamknięty przez drugi,
zatem część wspólna to objętość pierwszego,
wyliczamy 'z' z równania (górna połowa walca): \(\displaystyle{ z = \sqrt{r^2-x^2}}\)

Całkujemy to tu, po tamtym tam... i mnożymy przez liczbę takich kawałków.

cristiano86 · Post autor: **cristiano86** » 13 maja 2006, o 23:46

dzięki po raz kolejny ale czy mógłby ktoś napisać rozwiązanie tego zadania od początku do końca bo bez kitu to nie ma dla mnie sensu co rozwiązanie to inne

Fibik · Post autor: **Fibik** » 14 maja 2006, o 13:56

Pytałem jednego fachowca od rur, czyli hydraulika -
całkowicie potwierdza poprawność wyniku.

\(\displaystyle{ \large \int\limits_0^r dx \int\limits_0^x \sqrt{r^2-x^2}dy = \int\limits_0^r x \sqrt{r^2-x^2}dx = -\frac{1}{3}(r^2-x^2)^{\frac{3}{2}}\ \Bigg|_0^r =\\-\frac{1}{3}[(r^2-r^2) ^{\frac{3}{2}} - (r^2-0^2)^{\frac{3}{2}}] = -\frac{1}{3}(0 - r\cdot r^2) = \frac{r^3}{3}}\)

Masz inne rozwiązania, to pokaż - zobaczymy i zbadamy.

cristiano86 · Post autor: **cristiano86** » 14 maja 2006, o 16:21

ale dlaczego akurat taką całke trzeba liczyć , i na jakiej podstawie twierdzisz, że to jest 16 takich samych części, co oznacza to z we wcześniejszej części rozwiązania ??

Fibik · Post autor: **Fibik** » 14 maja 2006, o 21:43

'z' wyliczasz z równania pierwszego walca.
Części jest tyle ile widać.

cristiano86 · Post autor: **cristiano86** » 15 maja 2006, o 00:39

ale dlaczego akurat taką całke trzeba liczyć ??dlaczego z równania walca?? a skąd się wzieło aż 16 części ?? na jakiej podstawie to wywnioskowałeś ?? sory że Cie tak męcze ale po prostu ja nie widze tego rozwiązania . Z góry dzięki za pomoc

Fibik · Post autor: **Fibik** » 15 maja 2006, o 17:50

link wygasł

cristiano86 · Post autor: **cristiano86** » 15 maja 2006, o 22:39

wielkie dzięki życie mi ratujesz i nie tylko mi z resztą )

alchem · Post autor: **alchem** » 14 sty 2016, o 18:20

Byłby ktoś tak dobry i wstawił jeszcze raz zdj bryły która wtedy powstaje, bo nie mogę sobie jej wyobrazić

a4karo · Post autor: **a4karo** » 14 sty 2016, o 18:43

Ładnie sie robi to zadanie przy pomocy zasady Cavalieri'ego.

Przekrój tych rur płaszczyzna odległą od płaszczyzny zawierającej obie osie i oddalona od niej o \(\displaystyle{ h<r}\) wynosi \(\displaystyle{ 4(r^2-h^2)}\). Jest ona taka sama, jak przekrój sześcianu o boku \(\displaystyle{ 2r}\), z którego od góry i od dołu "wycięto" piramidy, których wspólnym wierzchołkiem jest środek sześcianu.

Zasada Cavalieri mówi, że obie te bryły maje taka sama objętość, a objętość tej drugiej to \(\displaystyle{ (2r)^2-2\cdot\frac{1}{3}\cdot r(2r)^2=\frac{16}{3}r^3}\)