[Równania funkcyjne] Dwie funkcje

[mol_ksiazkowy]

Tym razem dane są pewne dwie funkcje określone na całej osi rzeczywistej, i obie ściśle monotoniczne (tj rosnące bądź malejące)- i dać przykład że założenie to jest faktycznie istotne, ponadto spełnione są też poniższe warunki. Wykaz ze są one sobie równe:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \ *(1)* \ \ f^{-1}(g(x))+g^{-1}(f(x))=2x \\
\ *(2)* \ \ f(0)=g(0) \end{cases}}\)

[Sir George]

B.fajne zadanko!!!

A oto rozwiązanie: Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \phi=f^{-1}\!\circ\!g}\). Funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) jako złożenie funkcji monotonicznych jest również monotoniczna, co więcej jest odwracalna (bo odwracalne są, jak to sugeruje równanie, funkcje f i g). Spełnia ponadto warunki \(\displaystyle{ \phi(0)=0}\) oraz \(\displaystyle{ \phi(x)+\phi^{-1}(x)=2x}\).
Druga równość pokazuje, że \(\displaystyle{ \phi}\) musi być funkcją rosnącą (\(\displaystyle{ \phi^{-1}}\) jest "tak samo monotoniczna" jak \(\displaystyle{ \phi}\)).

Przekształcając dalej drugą równość otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \phi(x)-x=x-\phi^{-1}(x)}\).
Podstawienie \(\displaystyle{ x\mapsto\phi^{n}}\) i wielokrotne zastosowanie poprzedniej równości daje ostatecznie:
\(\displaystyle{ \phi^{n+1}(x)-\phi^n(x)=\phi(x)-x}\)
dla wszystkich całkowitych \(\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}}\).

Mamy zatem
\(\displaystyle{ \phi^n(x)=\big(\phi(x)-x\big)+\phi^{n-1}(x)=\ldots=n\big(\phi(x)-x\big)+x}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}}\).


Z drugiej strony monotoniczność \(\displaystyle{ \phi}\) daje dla x>0
\(\displaystyle{ 0=\phi^n(0)}\)

[Piotr Rutkowski]

[Tu był bardzo długi i niepotrzebny cytat. Chyba każdy widzi co jest w poprzedniej wiadomości? - luka52]

Mhm, to zadanko (tzn \(\displaystyle{ f(x)+f^{-1}(x)=2x}\)) jest w KMDO i do tej pory sam się zastanawiałem jak je zrobić...
Sir George masz może jakieś "reference" odnośnie rozwiązywania równań funkcyjnych metodą tworzenia takich rekurencji?