Podzielność przez 81

[snm]

Liczby całkowite x, y, z spełniają warunek \(\displaystyle{ (x-y)(x-z)(z-x)=x+y+z}\). Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ (x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}}\) jest podzielna przez 81.

[*Kasia]

czy drugi czynnik w założeniu jest przepisany poprawnie?

[snm]

Tak, takie przynajmniej dostałem zadanie

[bosa_Nike]

Niezbyt eleganckie, ale raczej poprawne.
Najpierw warunek. Rozpatrując wszystkie możliwe układy reszt \(\displaystyle{ \mod 3}\) składników prawej strony uzyskujemy przystawanie stron \(\displaystyle{ \mod 3}\) wtw, gdy \(\displaystyle{ x\equiv y\equiv z od 3}\).
Ale wtedy \(\displaystyle{ 3|(x-y),\ 3|(y-z),\ 3|(z-x)}\), a skoro \(\displaystyle{ (x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)}\), to mamy tezę.