Równanie kwadratowe.

Gambit · Post autor: **Gambit** » 9 wrz 2004, o 22:56

Hi!
Mam w podręczniku takie zadanie związane z trójmianem kwadratowym:
Rozwiąż równanie:
a) \(\displaystyle{ x^2 + 4x + 4 = 1}\)

I w odpowiedzi mam podane tak:
a) \(\displaystyle{ x_1 = -3, \ x_2 = -1}\)

Jak to rozwiązać? Dlaczego odpowiedź jest dla dwóch x'ów?
Wiem, że jest to banalne, ale niestety nie dla mnie...
Z góry dzięki za odpowiedź!

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 9 wrz 2004, o 23:04

No po lewej stronie masz wzór skróconego mnożenia

\(\displaystyle{ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}\) skorzystaj z niego

\(\displaystyle{ x^2+4x+4=1\\
(x+2)^2=1\\
(x+2)^2-1^2=0}\)

Teraz korzystasz ze wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a^2 \cdot b^2=(a-b)(a+b)}\)
\(\displaystyle{ (x+2-1)(x+2+1)=0\\
(x+1)(x+3)=0}\)

Iloczyn jest równy 0 jeden z czynników jest równy 0
\(\displaystyle{ x+1=0 \vee x+3=0\\
x=-1 \vee x=-3}\)

Gambit · Post autor: **Gambit** » 10 wrz 2004, o 13:50

BIG THX, już chyba rozumiem

Gość · Post autor: **Gość** » 10 wrz 2004, o 18:57

Można to policzyć za pomocą delty.

Jedynkę przenosisz na lewą stronę i masz:
\(\displaystyle{ x^2 + 4x + 3 = 0}\)

Teraz stosujesz wzór na deltę -> pierwiastki równania
\(\displaystyle{ \Delta = b^2 - 4 \cdot ac}\)
gdzie \(\displaystyle{ a = 1 \rightarrow (x^2); \ b = 4 \rightarrow (4x); \ c = 3 \rightarrow (3)}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 16 - 12
\\ \Delta = 4}\)

Potem należy obliczyć pierwiastek z delty
\(\displaystyle{ \sqrt{4}=2}\)

i podstawić do wzorów:
\(\displaystyle{ x_1= \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a} \\ x_2= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_1= \frac{-4+2}{2}=-1 \\ x_2= \frac{-4-2}{2}=-3}\)
Stąd \(\displaystyle{ x_1=-1, \ x_2=-3}\)

Gambit · Post autor: **Gambit** » 12 wrz 2004, o 13:39

Dzięki za pomoc Gościu!

Gambit · Post autor: **Gambit** » 12 wrz 2004, o 20:27

Jeszcze jedno pytanko. Skąd wziąłeś te wzory:

Anonymous pisze:\(\displaystyle{ x_1= \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a} \\ x_2= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

?

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 12 wrz 2004, o 21:33

Gambit pisze:Jeszcze jedno pytanko. Skąd wziąłeś te wzory:
Anonymous pisze:\(\displaystyle{ x_1= \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a} \\ x_2= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
?

Ano stąd że takie są wzory na wyliczanie po obliczeniu delty, bo jak ktoś nie zna ich to niech patrzy na moje rozwiązanie

Gambit · Post autor: **Gambit** » 13 wrz 2004, o 00:15

A ten przykład (z tego samego zadania) jak zrobić:
\(\displaystyle{ 4x^2 - 4x - 3 = 5}\)
odp: \(\displaystyle{ x_1 = -2, \ x_2 = 1}\)
?

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 13 wrz 2004, o 00:17

\(\displaystyle{ 4x^2 - 4x - 3 = 5 \\
4x^2-4x-8=0 /:4\\
x^2-x-2=0\\
x^2-x+ \frac{1}{4} - \frac{1}{4} -2=0\\
\left( x-\frac{1}{2} \right) ^2- \frac{9}{4} =0\\
\left( x- \frac{1}{2} \right)^2-\left( \frac{3}{2} \right)^2 \\
\left( x- \frac{1}{2}- \frac{3}{2} \right)\left( x- \frac{1}{2}+ \frac{3}{2} \right) =0\\
(x-2)(x+1)=0\\
x-2=0 \vee x+1=0\\
x=2 \vee x=-1}\)

Gambit · Post autor: **Gambit** » 13 wrz 2004, o 15:21