(4 zadania) Rozwiąż równania wykładnicze

[QI]

Rozwiąż równania:

a) \(\displaystyle{ 3^{x+1}+18\cdot 3^{-x}=29}\)

b) \(\displaystyle{ (\sqrt{7})^x=\sqrt[5]{49}}\)

c) \(\displaystyle{ 4^{x-2}+9=5\cdot 2^{x-2}+5}\)

d) \(\displaystyle{ 3^{\sin^2{x}}=2+3^{\cos^2{x}}}\)

[matman]

a

\(\displaystyle{ 3^{x+1}+18\cdot 3^{-x}=29}\)

\(\displaystyle{ 3\cdot 3^{x}+18\cdot (\frac{1}{3})^{x}=29}\)

\(\displaystyle{ 3\cdot 3^{2x}+18=29\cdot 3^{x}}\)

Niech \(\displaystyle{ 3^{x}=t}\)

Po podstawieniu mam:

\(\displaystyle{ 3t^2-29t+18=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=625\,\Longleftrightarrow\,\sqrt{\Delta}=25}\)

\(\displaystyle{ t_1=9\:\vee\:t_2=\frac{2}{3}}\)

Teraz podstawianie \(\displaystyle{ 3^{x}=t}\)

\(\displaystyle{ 3^{x}=9\:\vee\:3^{x}=\frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ 3^{x}=3^{2}\:\vee\:\log_{3}\frac{2}{3}=x}\)

\(\displaystyle{ x=2\:\vee\: x=\log_{3}\frac{2}{3}}\)

b

\(\displaystyle{ (\sqrt{7})^{x}=\sqrt[5]{49}}\)

\(\displaystyle{ (\sqrt{7})^{x}=\sqrt[5]{7^{2}}}\)

\(\displaystyle{ 7^{\frac{1}{2}x}=7^{\frac{2}{5}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x=\frac{2}{5}}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{4}{5}}\)

c

\(\displaystyle{ 4^{x-2}+9=5\cdot 2^{x-2}+5}\)

\(\displaystyle{ 2^{2x-4}+9=5\cdot 2^{x}\cdot 2^{-2}+5}\)

\(\displaystyle{ 2^{2x}\cdot 2^{-4}+9=5\cdot 2^{x}\cdot 2^{-2}+5}\)

Niech \(\displaystyle{ 2^{2x}=t}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{16}t^2+9=\frac{5}{4}t+5}\)

\(\displaystyle{ t^2-20t+64=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=144\Longleftrightarrow \sqrt{\Delta}=12}\)

\(\displaystyle{ t_1=16\:\vee\: t_2=8}\)

\(\displaystyle{ 2^{2x}=16\:\vee\: 2^{2x}=8}\)

\(\displaystyle{ 2^{2x}=2^{4}\:\vee\: 2^{2x}=2^{3}}\)

\(\displaystyle{ x=4\:\vee\: x=3}\)

d

\(\displaystyle{ 3^{\sin^2{x}}=2+3^{\cos^2{x}}}\)

Jak wiadomo: \(\displaystyle{ \sin^2{x}+\cos^2{x}=1\,\Longleftrightarrow\,\sin^2{x}=1-\cos^2{x}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ 3^{1-\cos^2{x}}=2+3^{\cos^2{x}}}\)

\(\displaystyle{ 3\cdot 3^{-\cos^2{x}}=2+3^{\cos^2{x}}}\)

\(\displaystyle{ 3=2\cdot 3^{cos^2{x}}+3^{\cos^2{x}}\cdot 3^{\cos^2{x}}}\)

\(\displaystyle{ 3=2\cdot 3^{\cos^2{x}}+3^{2(\cos^2{x})}}\)

Niech \(\displaystyle{ t=3^{\cos^2{x}}}\)

\(\displaystyle{ t^2+2t-3=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=16\Longleftrightarrow \sqrt{\Delta}=4}\)

\(\displaystyle{ t_1=-3\:\vee\:t_2=1}\)

Wiadomo, że:

\(\displaystyle{ t=3^{\cos^2{x}}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ 3^{\cos^2{x}}=-3\:\vee\: 3^{\cos^2{x}}=1}\)

\(\displaystyle{ 3^{\cos^2{x}}=3^{-1}\:\vee\: 3^{\cos^2{x}}=3^{0}}\)

\(\displaystyle{ \cos^2{x}=-1\:\vee\: \cos^2{x}=0}\)

Teraz pozostaje tylko wyliczyc wyrażenia \(\displaystyle{ \cos^2{x}=-1}\) i \(\displaystyle{ \cos^2{x}=0}\)

[wakaneczka]

Hmmm....jak na moje oko, to w odpowiedzi c jest dość istotny błąd. Do równania powinno się podstawić \(\displaystyle{ t}\) jako \(\displaystyle{ 2 ^ x}\), a nie do \(\displaystyle{ 2x}\). To zupełnie zmienia wynik.


Podro:)

[AlfaBetaGama]

no dokladnie jak wakaneczka uwazam, i jeszcze miejsca zerowe czyli \(\displaystyle{ t_1}\) i \(\displaystyle{ t_2}\) to \(\displaystyle{ 16}\) i \(\displaystyle{ 4}\) (a nie jak tam \(\displaystyle{ 8}\))

[Mrrudzin]

Odnośnie punktu c) - jak zauważyliście - jest błąd.
Ja jednak z pierwszego wyrazu (\(\displaystyle{ 4^{(x-2)}}\) zrobiłbym \(\displaystyle{ 2^{[2(x-2)]}=[2^{(x-2)}]^2}\)).
Podstawiając za \(\displaystyle{ 2^{(x-2)} = t}\) (i t>0) otrzymamy proste równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ t^2-5t+4=0}\)
rozwiązanie to \(\displaystyle{ t=1 \vee t=4}\).
Stąd otrzymamy że \(\displaystyle{ 2^{(x-2)}=1 \Rightarrow 2^{(x-2)}=2^0 \Rightarrow x-2=0 \Rightarrow x=2}\)
lub \(\displaystyle{ 2^{(x-2)}=4 \Rightarrow 2^{(x-2)}=2^2 \Rightarrow x-2=2 \Rightarrow x=4}\)

W punkcie d) też jest oczywiście błąd
zakładamy \(\displaystyle{ 3^{[(cosx)^2]} = t}\) i t>0
równanie \(\displaystyle{ 3^{[(cosx)^2]} = -3}\) nie ma rozwiazania - i przekształcenia powyżej są makabrycznie błędne (bo od kiedy\(\displaystyle{ -3 = 3^{-1}}\))
Drugie rozwiązanie jest poprawne - dostajemy \(\displaystyle{ (cosx)^2=0.}\)
Rozwiązanie końcowe \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi}\) (gdzie k należy do zbioru liczb całkowitych).