8 zadań z matematyki

[profesorek123]

1. Wykaż, że suma czterech kolejnych liczb naturalnych nie może być liczbą pierwszą.
2. Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe o następującej własności:
po zakryciu środkowej cyfry otrzymamy liczbę dwucyfrową dziewięć razy mniejszą.
3. Wykaż, że różnica czwartych potęg dwóch liczb całkowitych różniących się o 2k dzieli się przez 8k.
4. Napisz wyrażenie bez użycia znaku wartości bezwzględnej
x + |x + 1| + 2 × |x - 2| , gdy 1

[kotek1591]

Z.1 Jest liczbą parzystą, więc nie może być pierwszą; w czterech kolejnych liczbach będziesz miał napewno dwie parzyste i dwie nieparzyste czyli suma jest parzysta:)

Z.2. 100a +10b+c=90a+9c
10a+10b=8c; a,b,c\(\displaystyle{ \in}\){0,1,2...9}
a+b=8*c/10
a+b=4*c/5

Poniewarz a i b są całkowite więc ich suma też musi być całkowita czyli c=5, a a+b=4, to już sobie policzysz wszystkie możliwości.

Resztę może kiedy ińdziej bo nie mam teraz zbytnio czasu.

[Mbach]

do drugiego:
\(\displaystyle{ 9(10a+c) = 100a + 10b + c}\)
\(\displaystyle{ c = \frac{91a + 10b}{8}}\)
teraz już wiesz, że licznik musi być podzielny przez 8, a, b i c muszą być mniejsze bądź równe 9, oczywiście być nauralnymi

[tarnoś]

ad 4
pierwsza wartość bezwzględna opuszczasz bez zmiany znaku przy opuszczaniu drugiej zmieniasz znak na przeciwny, ponieważ ze wzgledu na zalozenia 1

[Aura]

Ex. 8.
Jesli przez te punkty podziału poprowadzisz 3 promienie, to powstaną 3 katy srodkowe o miarach 100, 120 i 140 stopni. Masz wtedy w trójkacie 3 czworokaty o dwóch katach prostych i jednym o mierze którejś z wymienionych wczesniej. Zatem katy trójkata to 80, 60 i 40 stopni.

[Tomasz Rużycki]

3.

Oznaczmy nasze liczby jako x+2k oraz x.

\(\displaystyle{ (x+2k)^4-x^4=[(x+2k)^2+x^2]\cdot [(x+2k)^2-x^2]=(2x^2+4kx+4k^2)(2x+2k)\cdot 2k = 8k(x^2+2kx+2k^2)(x+k)}\), c.b.d.w.


Reszta po poprawieniu tematu.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[Lady Tilly]

W piątym z pierwszego równania wyznaczasz x i podstawiasz do drugiego x=2k-y czyli 2k-y-2y=3-k ostateczne y=k-1 podstawiasz i obliczasz x=k+1 obie liczby x i y mają różne znaki jeśli ich iloczyn jest mniejszy od 0 czyli jeśli (k-1)(k+1)