Oblicz S[0,2](x*p"(x))- wielomiany

[Arek]

Cóż - znalazłem fajne i dość pouczające (mnie) zadanie:

Załóżmy, że p jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Jeżeli:
\(\displaystyle{ p(0)=p(2)=3}\) i \(\displaystyle{ p'(0)=p'(2)=-1}\), wówczas: \(\displaystyle{ S[0,2](x \cdot p"(x))=?}\)

a) \(\displaystyle{ -3}\)
b) \(\displaystyle{ -2}\)
c) \(\displaystyle{ -1}\)
d) \(\displaystyle{ 1}\)
e) \(\displaystyle{ 2}\)

Proste, ale ładnie sprawdza wiedzę z wielomianów i całek...

Jeśli interesuje was więcej takich zadań - feel free to ask for them...

[BSE]

to opisz, jak możesz, rozwiązanie, bo ja nie wiem, jak to policzyć
tzn... już zapomniałem jak się to robiło (:

[Gość]

przez czesci scalkowac wystarczy i wychodzi nam wyrazenie w ktorym wszystko mamy dane.

[Arek]

Dokładnie!!! Scałkuj przez części, przypomnij sobie czym jest calka oznaczona, a rozwiązanie wyjdzie samo!!!

Jeżeli jednak będziesz chciał dokładniej... Napisz, nie ma problemu.

Pozdrawiam

[BSE]

ehh, kurcze, nie wiem....
możesz mi to rozwiązać?

[Arek]

OK:

Zcałkujmy wyrażenie \(\displaystyle{ x \cdot p"(x)}\):

Z całkowania przez części:

\(\displaystyle{ S(x \cdot p"(x))=x \cdot (p'(x)+C)-S(p'(x)+C)}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest stałą:

\(\displaystyle{ S(p'(x)+C)=p(x)+Cx+D}\), gdzie D jest stałą

Zatem: \(\displaystyle{ S(x \cdot p"(x))=x \cdot (p'(x)+C)-(p(x)+Cx+D)=x \cdot p'(x)-p(x)-D}\)

Całka oznaczona to już tylko formalność
\(\displaystyle{ S[0,2](x \cdot p"(x))=2 \cdot p'(2)-p(2)+p(0)}\)

Zatem mamy: \(\displaystyle{ -2}\)