Trójmian kwadratowy-zadania.

[Gość]

Pomóżcie, proszę
1.Znaleźć trójmian kwadratowy wiedząć, że suma jego pierwiastków jest równa \(\displaystyle{ 8}\), suma odwrotności jego pierwiastków jest równa \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) i dla \(\displaystyle{ x=0}\) przyjmuje on wartość \(\displaystyle{ 24}\).
2.Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) równanie \(\displaystyle{ 3x^2+kx+3=0}\) ma dwa różne pierwiastki?
3.Dana jest funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c}\). Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ f(1)=0, f(2)=1}\) oraz \(\displaystyle{ f(3)=4}\), to \(\displaystyle{ f(n)=(n-1)^2}\)
4.Liczby \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^2+px+q=0}\). Napisać równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są liczby \(\displaystyle{ x_1+x_2, \ x_1x_2}\)

[Skrzypu]

Zad. 1
Pierwiastki równania kwadratowego \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\) to:
\(\displaystyle{ x_1= \frac{\sqrt{\Delta}-b}{2a} \\ x_2= \frac{-\sqrt{\Delta}+-b}{2a} \\}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2=8 \\ \frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}= \frac{2}{3} \end{cases} \\ \\ \text{Podstawiamy:} \\ \begin{cases} \frac{\sqrt{\Delta}-b}{2a}+\frac{-\sqrt{\Delta}+-b}{2a}=8 \\ \frac{2a}{\sqrt{\Delta}-b}+ \frac{2a}{-\sqrt{\Delta}-b} =\frac{2}{3} \end{cases} \\ \begin{cases} \sqrt{\Delta}-b-\sqrt{\Delta}-b=16a \\ \frac{ \frac{-2a}{b-\sqrt{\Delta}}-2a }{b+\sqrt{\Delta}}=\frac{2}{3} \end{cases}\\ \begin{cases} -2b=16a \\ \frac{-2a\left( b+\sqrt{\Delta}\right)-2a\left( b-\sqrt{\Delta}\right) }{\left( b-\sqrt{\Delta}\right)\left( b+\sqrt{\Delta}\right) } =\frac{2}{3} \end{cases} \\ \begin{cases} 8a+b=0 \\ \frac{-2ab-2a\sqrt{\Delta}-2ab+2a\sqrt{\Delta}}{b^2-\Delta}=\frac{2}{3} \end{cases} \\ \begin{cases} 8a+b=0 \\ \frac{-4ab}{b^2-b^2+4ac}=\frac{2}{3} \end{cases} \\ \begin{cases} 8a+b=0 \\ - \frac{b}{c}=\frac{2}{3} \end{cases} \\ \begin{cases}8a+b=0\\-3b=2c \end{cases}\\ \begin{cases} 8a+b=0\\ 3b+2c=0 \end{cases}}\)
Wiedząc jeszcze, że \(\displaystyle{ f(0)=24 \Rightarrow c=24}\), mamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 8a+b=0\\
3b+2c=0\\
c=24\end{cases} \\
\begin{cases}8a+b=0\\
3b+48=0\\
c=24\end{cases} \\
\begin{cases}8a+b=0\\
3b=-48\\
c=24\end{cases} \\
\begin{cases}8a+b=0\\
b=-16\\
c=24\end{cases} \\
\begin{cases}8a-16=0\\
b=-16\\
c=24\end{cases} \\
\begin{cases}a=2\\
b=-16\\
c=24\end{cases}}\)
Czyli \(\displaystyle{ f(x)=2x^2-16x+24}\).

Zad. 2
Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy \(\displaystyle{ \Delta>0}\), więc:
\(\displaystyle{ k^2-36>0\\
k^2>36\\
\\
k>6}\)
lub
\(\displaystyle{ k<-6 \\ k\in\left( -\infty,-6\right) \cup \left( 6,+\infty\right)}\)

Zad. 3
Podstawiając otrzymujemy 3 równania z 3 niewiadomymi i rozwiązujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b+c=0\\
4a+2b+c=1\\
9a+3b+c=4\end{cases}
\\ \begin{cases}a=-b-c\\
4(-b-c)+2b+c=1\\
9(-b-c)+3b+c=4\end{cases}\\
\begin{cases}a=-b-c
\\-4b-4c+2b+c=1
\\-9b-9c+3b+c=4\end{cases} \\
\begin{cases}a=-b-c\\
-2b-3c=1 / \cdot (-3)
\\-6b-8c=4\end{cases}\\
\begin{cases}a=-b-c\\
6b+9c=-3
\\-6b-8c=4\end{cases} \\
\begin{cases}a=-b-c\\
c=1\\
b=-2\end{cases} \\
\begin{cases}a=1\\
b=-2\\
c=1\end{cases}}\)
Czyli mamy \(\displaystyle{ f(n)=n^2-2n+1=(n-1)^2}\).

[Gość]

Skrzypu, wielkie dzięki. O funkcji kwadratowej to nie mam pojęcia

[seismic]

Skrzypu nie rozumiem dlaczego tak zrobiłes drugie zadanko, możesz mi wytłumaczyć ?
patrz:

\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
podstawiam sobie do wzoru delty:
\(\displaystyle{ k^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 > 0
\\ k^2 - 36 > 0\\ k^2 > 36}\)
i coś takiego by wychodziło
\(\displaystyle{ k > 6}\)

ja tak bym obliczył, mozliwe że jestem w błędzie, mógłbyś mi wytłumaczyć twoje rozwiazanie ?

pozdrawiam

[Skrzypu]

O w morde, faktycznie, myślałem, że tak jest \(\displaystyle{ 3k}\), więc prawidłowe rozwiązanie nie jest dokładnie takie jak podałeś, powinno być:

\(\displaystyle{ \Delta>0\\
k^2-4 \cdot 3 \cdot 3>0 \\
k^2>36}\)

I teraz
\(\displaystyle{ k>6 \vee k<-6 \\ k\in \left( -\infty,-6\right) \cup \left( 6,+\infty\right)}\)

[Gość]

Uwzględniłam poprawki, dzięki
A może ktoś poradzi sobie z czwatrym?

[marshal]

ze wzorow Viete'a:
\(\displaystyle{ x_1+x_2= \frac{-b}{a}= \frac{-p}{1}=-p \\ x_1x_2= \frac{c}{a}= \frac{q}{1} =q}\)

Czyli rownanie o pierwiastkach \(\displaystyle{ x_1+x_2}\) oraz \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2}\) bedzie mialo postac:
\(\displaystyle{ y=(x+p) \cdot (x-q)= x^2 - qx + px - pq = x^2 + (p-q)x - pq}\)

[Kijju]

Mi w pierwszym zadaniu wyszło inaczej korzystając ze wzorów Viete'a otrzymałem taki wynik:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=-8 \\ c=24\end{cases}}\)

Czy ktoś otrzymał taki wynik?

[Psiaczek]

Mi w pierwszym zadaniu wyszło inaczej korzystając ze wzorów Viete'a otrzymałem taki wynik:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=-8 \\ c=24\end{cases}}\)

Kolego z Olsztyna, nie doliczyłeś się , że dla podanych przez ciebie wartości po pierwsze pierwiastki są zespolone (dość dziwne jak na zadanie ze szkoły średniej jak mniemam) , po drugie suma ich odwrotności wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) ?

odpowiedź podana wcześniej w tym temacie \(\displaystyle{ a=2,b=-16,c=24}\) jest prawidłowa.

[Kijju]

Znalazłem błąd dzięki i przepraszam a zamieszanie.