Na danej paraboli znaleźć punkt leżący najbliżej proste

Margaretta · Post autor: **Margaretta** » 7 kwie 2005, o 15:12

Na paraboli \(\displaystyle{ y^2=4x}\) znajdź punkt leżący najbliżej prostej y=2x+4. =/ mógłby mi ktoś wytłumaczyć mniej więcej jak takie zad sie rozwiązuje.. dziękuję. pozdr

Undre · Post autor: **Undre** » 7 kwie 2005, o 15:58

Tak na szybko mam jeden pomysł - znalazłbym prostą z=cx+d, gdzie c takie aby y i z były prostopadłe, zaś d takie, aby prosta z przecinała się z parabolą. Dobrze ?

paulgray · Post autor: **paulgray** » 9 kwie 2005, o 09:41

hmmm: szukany pkt leży na paraboli, więc ma współrzędne: \(\displaystyle{ A=(\frac{y^{2}}{4}, y)}\)
korzystamy teraz ze wzoru na odległość pktu od prostej:
\(\displaystyle{ d(A, l)=\frac{|\frac{y^{2}}{2}-y+4|}{\sqrt{5} }}\)
jest ona najmniejsza tylko dla najmniejszej wartości licznika. Wyrażenie pod modułem jest większe od zera dla każdego \(\displaystyle{ y R}\) więc możemy spokojnie opuścić moduł i znaleźć odciętą wierzchołka paraboli: \(\displaystyle{ y=-\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{2}}=1\\ \frac{y^{2}}{4}=\frac{1}{4}}\)
a więc szukany pkt ma współrzędne: \(\displaystyle{ A=(\frac{1}{4}, 1)}\)