Podzielność przez 10, 57, 11 - wytłumaczenie.

[malmika]

Mam problem z takimi podzielnościami:
1. Wykaż, że liczby:
a) \(\displaystyle{ 17^{5}+24^{4}-13^{21}}\)
b) \(\displaystyle{ 2^{16}+3^{40}+5^{35}+2*4^{7}}\)
są podzielne orzez 10.
oraz
2. Wykaż, że:
a) \(\displaystyle{ 57|7^{15}- 1}\)
b) \(\displaystyle{ 11|3^{15}- 1}\)

Nie zależy mi, aby ktoś mi całkiem rozwiązał te zadania, tylko - na ile to możliwe - wytłumaczył, jak się tego typu zadania rozwiązuje, bo mam z nimi dość duży problem ;-(
Z góry dziękuję za każdą pomoc w tłumaczeniu =)

[Mistermasyl]

W zadaniu 1 trzeba zauwazyc pewna rzecz. Liczby dzielne przez 10 to takie, których ostatnia cyfra jest równa 0, więc aby udowodnic ze podana liczba jest podzielna przez 10 musimy sprawdzic czy ostatnia cyfra danej liczby jest rowna 0. Nie obchodza nasz tysiace i dziesiątki, należy skupi sie na liczbie jedności.

Należy zauwazyc pewna zaleznosc:

\(\displaystyle{ 7^{1}}\) =\(\displaystyle{ 7}\)
\(\displaystyle{ 7^{2}}\) =\(\displaystyle{ 49}\)
\(\displaystyle{ 7^{3}}\) =\(\displaystyle{ 63}\)
\(\displaystyle{ 7^{4}}\) =\(\displaystyle{ ...1}\)
----------------------------------------
\(\displaystyle{ 7^{5}}\) =\(\displaystyle{ ...7}\)
\(\displaystyle{ 7^{6}}\) =\(\displaystyle{ ...9}\)
...

Wiec ostatnia cyfra potegi liczby, gdzie ostatnia cyfra jest 7 (w tym przypadku 17) zmienia sie co 4 potegi.
Jeżeli mamy 5 potegę to ostatnią cyfrą jest 7, jeżeli 6 potegę ostatnią cyfrą jest 9 i.t.d.

Tak samo robimy w przypadku liczby 24 (czyli dla 4) oraz dla 13 (czyli dla 3)

\(\displaystyle{ 3^{1}}\) =\(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ 3^{2}}\) =\(\displaystyle{ 9}\)
\(\displaystyle{ 3^{3}}\) =\(\displaystyle{ 27}\)
\(\displaystyle{ 3^{4}}\) =\(\displaystyle{ 81}\)
------------------------------------
\(\displaystyle{ 3^{5}}\) =\(\displaystyle{ ...3}\)
\(\displaystyle{ 3^{6}}\) =\(\displaystyle{ ...9}\)
...

Co cztery potegi zmienia sie ostatnia cyfra, potega jest rowna 21 wiec nalezy wykonac:
21:4=5 r.1
czyli ostatnia cyfra bedzie ostatnia cyfra 1 potegi (3)
otrzymamy :
....7 + ....6 - ....3 = ....3 - ....3 = ....0
czyli jest podzielna przez 10

Spróbuj to wszystko spokojnie przeanalizowac.Mam nadzieje ze zrozumiale i sobie poradzisz z 2 przykladem, w razie czego pytaj.

[malmika]

Mistermasyl dziękuję Ci bardzoo za pomoc zrozumiałam to w zadaniu 1, ale w 2 zadaniu jakoś nie potrafię tego zastosować ... Mógłbyś jeszcze mnie jakoś naprowadzić na rozwiązanie drugiego zadania? Jakieś wskazówki i rady? Bo w tym drugim to nie wiemy przecież jaka ma być ostatnia cyfra żeby liczba była podzielna przez 57 i 11 ...

[Piotr Rutkowski]

Ja Ci radzę zapoznać się z kongruencjami (jest w naszym kompendium).
np.
w drugim w punkcie a)
Zauważamy, że:
\(\displaystyle{ 7^{3}\equiv 1 \ (mod57)}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (7^{3})^{5}-1\equiv 1^{5}-1 \equiv 0 \ (mod57)}\) co kończy zadanie:
punkt drugi robi się podobnie zauważając, że \(\displaystyle{ 3^{5}\equiv 1 \ (mod11)}\)

[malmika]

Dzięki polskimisiek za pomoc wprawdzie nie rozumiem tej całej kongruencji - próbowałam coś o niej poczytać, ale to nic nie dało (może w szkole będę to przerabiac =)) - ale dzięki za zainteresowanie zadaniami pzdr