Kilka zadań z logarytmami

[frez]

Mam zadane kilka zadań z logarytmami, napiszę tu 5 zadań, z którymi mam problemy, nie wiem jak się do tego zabrać. Za pomoc z góry dziękuję.

1. Rozstrzygnij, które z liczb \(\displaystyle{ a=\log_{4} \sqrt{5}\cdot\log_{25}8,b=\log2\cdot\log50+log^{2}5,c=(\log_{3}36)^{2}-\log_{3}16\cdot\log_{3}18}\) są liczbami całkowitymi.

2.Oblicz \(\displaystyle{ \log_{abc}p}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ \log_{a}p=2, \log_{b}p=3, \log_{c}p=6.}\)

3.Uzasadnij, że \(\displaystyle{ 2^{\log_{3}5}}\) i \(\displaystyle{ 5^{\log_{3}2}}\) są równe.

4. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a, b \in (0,1)}\), to \(\displaystyle{ \log_{a}b+\log_{b}a \geqslant 2.}\)

5.Niech \(\displaystyle{ x=10 ^{ \frac{1}{1-\log z} }}\) i \(\displaystyle{ y=10 ^{ \frac{1}{1-\log x} }.}\) Wykaż, że \(\displaystyle{ z=10 ^{ \frac{1}{1-\log y} }.}\)

Niekoniecznie muszą być wszystkie rozwiązane(ale dobrze by było), najbardziej zależy mi na 2 i 3.
Dla tych którzy mi pomogą jeszcze raz z góry dziękuję.

[Szemek]

3.
\(\displaystyle{ L=2^{\log_{3}5} = 5^{\log_{5}2 {\log_{3}5}} = 5^{\frac{\log_{3}2}{\log_3{5}} {\log_{3}5}} = 5^{\log_{3}2}=P}\)

[sea_of_tears]

\(\displaystyle{ (\log_336)^2-\log_316 \log_318=\\
=(\log_336)^2-\log_316 \log_3(9\cdot2)=\\
=(\log_336)^2-\log_3{16}(\log _3{9}+\log_3{2})=\\
=(\log_3{36})^2-\log_3{16}(2+\log_3{2})=\\
=(\log_3{36})^2-2\log_3{16}-\log_3{2} \log_3{16}=\\
=(\log_3{36})^2-2\log_3{2^4} - \log_3{2} \log_3{2^4}=\\
=(\log_3{36})^2-8\log_3{2}-4\log_2{2} \log_3{2}=\\
=(\log_3{36})^2-8\log_3{2}-4(\log_2{2})^2=\\
=4(\log_3{2})^2+8\log_3{2}+4-4(\log_3{2})^2-8\log_3{2}=4\\\\
(\log_3{36})^2=(\log_3{4\cdot9})^2=(\log_3{4}+\log_3{9})^2=(\log_3{4}+2)^2=(\log_3{4})^2+4\log_3{4}+4\\
(\log_3{4}))^2=4(\log_3{2})^2\\
\log_3{4}=2\log_3{2}}\)

[zaba555]

A ma ktoś pomysł na zadanie 2? Bo przydałoby mi się akurat

[alia]

Wystarczy wykorzystać wzór na zamianę podstaw i sumę logarytmów o tej samej podstawie
\(\displaystyle{ \log_{abc}{p}= \frac{\log_{a}{p}}{\log_{a}{abc}}=\frac{2}{\log_{a}{a}+\log_{a}{b}+\log_
{a}{c}}}\)
Dwie brakujące wielkości z mianownika wyliczamy z pozostałych danych, także stosując wzór na zamianę podstaw, np.
\(\displaystyle{ 3=\log_{b}{p}= \frac{\log_{a}{p}}{\log_{a}{b}} = \frac{2}{\log_{a}{b}}}\)
czyli \(\displaystyle{ \log_{a}{b}=\frac{2}{3}}\)
analogicznie wartość \(\displaystyle{ \log_{a}{c}}\) uzyskamy z :
\(\displaystyle{ 2=\log_{c}{p}}\)

[mcprok]

Odświeżam, prosząc o rozwiązanie do zadania 4.

[piasek101]

Zrób jednakowe podstawy, szukaj wzoru skróconego mnożenia tak aby mieć \(\displaystyle{ (x-y)^2\geq 0}\)

[mcprok]

Ok. Śmigło;)