Równanie i nierówność z parametrem

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
at_new
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 29 lis 2004, o 20:48

Równanie i nierówność z parametrem

Post autor: at_new »

Jaki warunek musi spełniać m, aby pierwiastki \(\displaystyle{ x_1,\ x_2}\) równania:
\(\displaystyle{ \frac{mx}{m-1} + \frac{m+1}{x} = x+1}\) czyniły zadość nierówności \(\displaystyle{ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} < 2m +1}\) ?

[Edit: olazola] Poprawiłam oznaczenia, teraz chyba lepiej się to czyta.
Skrzypu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1146
Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 18 razy

Równanie i nierówność z parametrem

Post autor: Skrzypu »

\(\displaystyle{ \frac{mx}{m-1} + \frac{m+1}{x} = x+1}\)
Wymnażamy przez mianowniki i mamy:
\(\displaystyle{ mx^2 + m^2-1 = mx^2+mx-x^2-x}\)
Redukujemy
\(\displaystyle{ x^2+(1-m)x +m^2-1 =0}\)

Założenia \(\displaystyle{ \Delta \geq 0}\)

\(\displaystyle{ (1-m)^2-4(m^2-1) \geq 0}\)

\(\displaystyle{ (m-1)^2-4(m-1)(m+1) \geq 0}\)

\(\displaystyle{ (m-1)(m-1)-4(m-1)(m+1) \geq 0}\)

\(\displaystyle{ (m-1)(m-1-4m-4) \geq 0}\)

\(\displaystyle{ (m-1)(-3m-5) \geq 0}\)

\(\displaystyle{ (m-1)(3m+5) \leq 0}\)

\(\displaystyle{ m \epsilon }\)



\(\displaystyle{ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>2m+1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_2}{x_1 \cdot x_2}>2m+1}\)
Korzystamy ze wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}>2m+1}\)

\(\displaystyle{ -\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c}>2m+1}\)

\(\displaystyle{ -\frac{b}{c}>2m+1}\)

\(\displaystyle{ -\frac{1-m}{m-1}>2m+1}\)

\(\displaystyle{ 1>2m+1}\)

\(\displaystyle{ m}\)

Czyli \(\displaystyle{ m \epsilon }\)
Awatar użytkownika
kotek1591
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 18 lut 2005, o 14:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

Równanie i nierówność z parametrem

Post autor: kotek1591 »

Trzeba jeszcze zauwarzyć iż: x musi być różny od 0 czyli:
1)przy delcie równej 0; -b/2a różne od 0
2)przy delcie większej od 0; c/a różne od 0

W punkcie (1) wychodzi, iż mróżne od1 i w tym momęcie już odpada jedynka z dziedziny.
Natomiast z punktu (2) mamy, (m-1)(m+1) różne od 0 czyli m różne od 1 i m różne od (-1) czyli zmienia się rozwiązanie

Odp: m należy do
ODPOWIEDZ